8 класс. Геометрия. Четырехугольники. Прямоугольник, ромб и квадрат.

Комментарии преподавателя

Ромб и квадрат

1. Ромб и его свойства

Ромб – это частный случай параллелограмма, поэтому он обладает всеми свойствами параллелограмма. Однако есть и специфические свойства, о которых пойдёт речь. Но для начала сформулируем одно из определений ромба.

Ромб – это параллелограмм, у которого все стороны равны.

Сформулируем и докажем теорему о свойствах ромба.

Теорема

Диагонали ромба перпендикулярны и делят углы ромба пополам (являются биссектрисами углов) (см. Рис. 1).

Дано:

 – ромб

Доказать:

.

Доказательство:

Рис. 1

Рассмотрим :  – середина  (так как ромб является параллелограммом, то его диагонали в точке пересечения делятся пополам). Кроме того, из определения ромба следует, что . Значит, треугольник  – равнобедренный;  является медианой этого треугольника, проведённой к основанию, а, значит, и биссектрисой, и высотой. Из этого следует, что:

, то есть диагонали ромба перпендикулярны;

, то есть диагонали ромба являются биссектрисами его углов (равенство остальных углов можно доказать аналогично).

Доказано.

Ещё один частный случай параллелограмма – квадрат.

2. Квадрат и его свойства

Квадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны.

Квадрат обладает всеми свойствами прямоугольника и ромба. А именно:

·         все углы квадрата прямые;

·         диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны, точкой пересечения делят углы квадрата пополам.

3. Задачи на ромб и квадрат

Теперь рассмотрим несколько задач, в которых встречаются ромб и квадрат.

Задача 1.

В ромбе одна из диагоналей равна стороне (см. Рис. 2). Найти:

а) углы ромба;

б) углы между диагоналями и сторонами.

 

Дано:  – ромб; .

Найти: а) ; б) .

Решение:

Рис. 2

а)  (так как у ромба все стороны равны). Значит, треугольник  – равносторонний. Отсюда следует, что угол . Так как в любом параллелограмме сумма соседних углов равна , то .

Ответ: .

б) По доказанной выше теореме: . Аналогично получаем, что .

Ответ: .

Задача 2.

Найти периметр ромба , в котором , а меньшая диагональ равна . Найти периметр ромба.

 

Дано:  – ромб;  .

Найти: 

Решение:

Рис. 3

Рассмотрим треугольник , в нём: . Значит, данный треугольник равнобедренный, угол при вершине у него равен , два других угла при основании равны, поэтому данный треугольник – равносторонний. Значит: . Так как в ромбе все стороны равны, то периметр ромба равен: .

Ответ: .

Задача 3.

Найдите углы, которые образуют диагонали ромба с его сторонами, если один из углов ромба равен .

Дано:  – ромб, .

Найти: 

Решение:

 

Рис. 4

Вспомним, что в любом параллелограмме противоположные углы, а сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна . Из этого следует, что: . Теперь воспользуемся доказанной вначале теоремой: .

Ответ: 

Задача 4.

Докажите, что параллелограмм является ромбом, если:

а) его диагонали взаимно перпендикулярны;

б) его диагонали являются биссектрисами углов.

 

а) Дано:  – параллелограмм, .

Доказать:  – ромб.

Доказательство:

Рис. 5

Рассмотрим треугольник : в нем  является одновременно и высотой (так как диагонали перпендикулярны), и медианой (так как диагонали в любом параллелограмме точкой пересечения делятся пополам). Значит,  – равнобедренный. Из этого следует, что: . Если теперь воспользоваться тем, что в параллелограмме противоположные стороны равны, получаем, что: . То есть  – ромб.

Доказано.

б) Дано:  – параллелограмм,  – биссектрисы углов параллелограмма.

Доказать:  – ромб.

Доказательство:

Рис. 6

Рассмотрим треугольник : в нем  является одновременно и биссектрисой (так как диагонали являются биссектрисами углов), и медианой (так как диагонали в любом параллелограмме точкой пересечения делятся пополам). Значит,  – равнобедренный. Из этого следует, что: . Если теперь воспользоваться тем, что в параллелограмме противоположные стороны равны, получаем, что: . То есть,  – ромб.

Доказано.

Задача 5.

Докажите, что ромб, у которого один из углов прямой, является квадратом.

Дано:  – ромб,   

Доказать:  – квадрат.

Доказательство:

Рис. 7

Вспомним, что квадрат – это одновременно прямоугольник и ромб. Если говорить о сформулированном строгом определении, то квадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны. Равенство сторон следует из того, что данный четырёхугольник – ромб. Осталось доказать, что он является ещё и прямоугольником. По условию:  (у любого параллелограмма противоположные углы равны). Кроме того, сумма соседних углов параллелограмма равна . Значит: . Отсюда мы получаем, что  – прямоугольник, а значит, и квадрат.

Доказано.

На этом уроке мы изу­чи­ли ромб и квад­рат, а также рас­смот­ре­ли их свой­ства и ре­ши­ли раз­лич­ные за­да­чи, в ко­то­рых встре­ча­ют­ся ромб и квад­рат.

ИСТОЧНИК

http://x-uni.com/geometriya/8-klass/video/romb-i-kvadrat

http://www.youtube.com/watch?v=axMe7L_01j0

http://www.youtube.com/watch?v=y4x7r57AuSM

http://www.youtube.com/watch?v=9qbxjBa2uSs

http://fs1.ppt4web.ru/uploads/ppt/17412/2387c05b0d646493088efdb6da84d39d.ppt

http://prezentacii.com/uploads/ppt/03-13/Prjamougolnik-Romb-Kvadrat.rar

http://900igr.net/prezentatsii/geometrija/Prjamougolnik-romb-kvadrat/Prjamougolnik-romb-kvadrat.html

http://u.900igr.net/zip/397eb071b35912c86e9059e79cf8ca54.zip

http://player.myshared.ru/1246878/data/images/img3.jpg

https://www.euroki.net/books/gdzs/273/112569.png

http://900igr.net/datas/geometrija/Prjamougolnik-romb-kvadrat/0005-005-Otvety-k-proverochnomu-testu.jpg

Файлы