8 класс. Геометрия. Четырехугольники. Прямоугольник, ромб и квадрат.

Четырехугольники.

НАЗАД ДАЛЬШЕ

Четырехугольники.

Комментарии преподавателя

Повторение теории и решение задач

1. Определение, виды и свойства трапеции

Ранее мы уже познакомились с такими видами четырехугольников, как параллелограмм и трапеция, и их частными случаями – прямоугольником, ромбом и квадратом. Мы изучили их основные свойства и признаки. Сегодня мы повторим и обобщим все полученные нами знания по этой теме.

Повторим основной теоретический материал.

Трапеция – это четырехугольник, у которого две противоположные стороны параллельны, а две другие не параллельны (см. Рис. 1).

Рис. 1. Трапеция

Выделяют два отдельных типа трапеций: равнобедренную и прямоугольную.

Равнобедренная трапеция – это трапеция, в которой боковые стороны равны (см. Рис. 2).

Рис. 2. Равнобедренная трапеция

Прямоугольная трапеция – это трапеция, в которой одна из боковых сторон перпендикулярна основанию (см. Рис. 3).

Рис. 3. Прямоугольная трапеция

Отдельно стоит вспомнить такой важный элемент трапеции, как ее средняя линия.

Средняя линия трапеции – это отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции (см. Рис. 4).

Рис. 4. Средняя линия трапеции

Основные свойства средней линии трапеции:

1. – параллельна основаниям трапеции;

2. – равна их полусумме.

2. Определение, свойства и признаки параллелограмма

Параллелограмм – четырехугольник, у которого каждые две противоположные стороны параллельны (см. Рис. 5).

Рис. 5. Параллелограмм

Основные свойства параллелограмма:

Чтобы иметь возможность при решении задач пользоваться указанными свойствами, нам необходимо понимать, является ли указанный четырехугольник параллелограммом или нет. Для этого необходимо знать признаки параллелограмма.

Теорема. Первый признак параллелограмма. Если в четырехугольнике две противоположные стороны равны и параллельны (см. Рис. 6), то этот четырехугольник – параллелограмм. параллелограмм.

Рис. 6. Первый признак параллелограмма

Теорема. Второй признак параллелограмма. Если в четырехугольнике каждые две противоположные стороны равны (см. Рис. 7), то этот четырехугольник – параллелограмм. параллелограмм.

Рис. 7. Второй признак параллелограмма

Теорема. Третий признак параллелограмма. Если в четырехугольнике диагонали точкой пересечения делятся пополам (см. Рис. 8), то этот четырехугольник – параллелограмм. параллелограмм.

Рис. 8. Третий признак параллелограмма

Теперь повторим частные случаи параллелограмма.

3. Определение, свойство и признак прямоугольника

Прямоугольником называют параллелограмм, у которого все углы прямые (см. Рис. 9).

Рис. 9. Прямоугольник

Замечание. Очевидным эквивалентным определением прямоугольника (иногда его именуют признаком прямоугольника) можно назвать следующее. Прямоугольник – это параллелограмм с одним углом . Это утверждение практически очевидно, и мы оставим его без доказательства, пользуясь далее как определением.

Т.к. прямоугольник, как это видно из определения, является частным случаем параллелограмма, то ему присущи все ранее описанные свойства параллелограмма, однако у него имеются и свои специфические свойства, которые мы сейчас рассмотрим.

Теорема. Свойство прямоугольника. Диагонали прямоугольника равны (см. Рис. 10).

.

Рис. 10. Свойство прямоугольника

Теорема. Признак прямоугольника. Если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм – прямоугольник (см. Рис. 11).

Рис. 11. Признак прямоугольника

4. Определение и свойство ромба

Ромб – параллелограмм, у которого все стороны равны (см. Рис. 12).

Рис. 12. Ромб

Замечание. Для определения ромба достаточно указывать даже более короткое утверждение, что это параллелограмм, у которого равны две смежные стороны .

Ромб обладает всеми свойствами параллелограмма, т.к. является его частным случаем, но имеет и свое специфическое свойство.

Теорема. Свойство ромба. Диагонали ромба перпендикулярны и делят углы ромба пополам (см. Рис. 13).

Рис. 13. Свойство ромба

5. Определение и свойства квадрата

Квадрат – 1) прямоугольник, у которого стороны равны; 2) ромб, у которого углы прямые (см. Рис. 14). Указанные определения эквивалентны и применяются в любой удобной форме.

Рис. 14. Квадрат

Квадрату присущи свойства тех фигур, частным случаем которых он является (параллелограмм, прямоугольник, ромб). Перечислим их.

Основные свойства квадрата (см. Рис. 15):

1. Все углы прямые.

2. Диагонали равны.

3. Диагонали перпендикулярны.

4. Точка пересечения делит диагонали пополам.

5. Диагонали делят углы квадрата пополам.

Рис. 15. Свойства квадрата

6. Задача на схожесть свойств трапеции и параллелограмма

Теперь, когда мы перечислили и вспомнили основные свойства основных изученных четырехугольников, мы можем закрепить эти знания на примере решения задач.

Пример 1. (Обобщенная задача на трапецию и параллелограмм). Дана трапеция или параллелограмм (см. Рис. 16). биссектрисы углов при боковой стороне трапеции (параллелограмма). Найти угол между биссектрисами .

Решение. Это пример задачи, демонстрирующий схожесть некоторых свойств параллелограмма и трапеции, в нем не важно, какая конкретно из этих двух фигур задана. Изобразим рисунок.

Рис. 16

– биссектрисы, они делят соответствующие углы пополам, обозначим их и .

По свойству трапеции (параллелограмма) .

Рассмотрим : .

Ответ: .

7. Теорема Фалеса и задача на ее применение

Вспомним формулировку теоремы Фалеса.

Теорема Фалеса. Если параллельные прямые, которые пересекают стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне (см. Рис. 17).

Рис. 17. Теорема Фалеса

Рассмотрим задачу на трапецию с применением теоремы Фалеса.

Пример 2. Боковая сторона трапеции разделена на три равные части, и из точек деления проведены к другой стороне отрезки, параллельные основаниям. Найдите длину этих отрезков, если основания трапеции равны 2 м и 5 м.

Решение. Изобразим Рис. 18 со всеми элементами, которые пригодятся нам в процессе решения. Известно, что . Найти длины .

Рис. 18

Для того, чтобы воспользоваться теоремой Фалеса относительно угла , проведем прямые .

Сначала рассмотрим параллелограмм , в нем по свойству .

Вернемся к проведенным параллельным прямым, по теореме Фалеса: . . Поскольку отрезок разделен на три равные части, то .

Теперь, если внимательно посмотреть на параллелограммы, образованные пересечениями линий с проведенными нами прямыми , можно легко определить длины отрезков : , .

Ответ. .

Пример 3. Основания трапеции относятся как 2:3. Средняя линия равна 5 м. Найдите основания.

Решение. Изобразим Рис. 19 и укажем, что нам дано: . Найти и .

Рис. 19

Поскольку известно, что , то выразим основания трапеции через условные части : . Запишем свойство средней линии трапеции:

.

Ответ. .

8. Разные задачи на четырехугольники

Пример 4. Через данную точку внутри угла проведите прямую, отрезок которой, заключенный внутри этого угла, делился бы данной точкой пополам.

Решение. Внутри угла с вершиной дана точка . Изобразим это на Рис. 20 со всеми элементами, которые понадобятся нам для решения задачи.

Рис. 20

Отложим отрезок из точки через точку так, чтобы , затем проведем отрезки , получим точки пересечения со сторонами угла и соответственно. Соединим эти точки прямой, она и будет искомой. Докажем это.

Построенная фигура является параллелограммом, т.к. по построению имеет параллельные противоположные стороны, отрезки являются диагоналями параллелограмма, следовательно, по его свойству точкой пересечения () делятся пополам и , что и требовалось по условию задачи.

Ответ. Искомая прямая – .

Пример 5. В прямоугольнике точка пересечения диагоналей отстоит от меньшей стороны на 4 см дальше, чем от большей стороны. Периметр прямоугольника равен 56 см. Найдите стороны прямоугольника.

Решение. Изобразим Рис. 21.

Рис. 21

Опустим из точки пересечения диагоналей перпендикуляры на стороны, длины которых и будут расстояниями от точки пересечения диагоналей до сторон прямоугольника. Обозначим отрезок , тогда по условию . Поскольку получаем, что . Подставим это в формулу периметра прямоугольника: