8 класс. Геометрия. Площадь. Площадь квадрата, прямоугольника, параллелограмма.

Комментарии преподавателя

Теорема о площади параллелограмма

На сегодняшнем уроке мы изучим формулу для нахождения площади параллелограмма. Для удобства введем следующую терминологию: одну из сторон параллелограмма будем называть основанием параллелограмма, а перпендикуляр, проведенный из противоположной вершины к этой стороне, высотой параллелограмма.

Вспомним определения и основные свойства параллелограмма.

Определение. Параллелограмм – четырехугольник, у которого каждые две противоположные стороны параллельны (рис. 1).

Рис. 1. Параллелограмм 

Основные свойства параллелограмма:

Теорема. О площади параллелограмма. Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту.

Доказательство. Изобразим рисунок 2 с элементами, которые нам пригодятся в ходе доказательства.

Рис. 2. Иллюстрация к теореме

Рассмотрим параллелограмм . В нем  – основание,  и  – высоты. Обратим внимание на прямоугольную трапецию , она состоит из двух фигур: параллелограмма  и треугольника . С другой стороны, эта же трапеция разбивается на две другие фигуры: треугольник  и прямоугольник . Исходя из этого, запишем третье свойство площади:

Рассмотрим треугольники  и :

 как два прямоугольных треугольника, по гипотенузе и острому углу. Следовательно, по второму свойству площади: .

Если вернуться к полученным соотношениям для площади выбранной трапеции и учесть равенство площадей треугольников, то получим: . Но из предыдущего урока мы уже знаем, что площадь прямоугольника, а т. к. , по свойству параллелограмма, то , что и требовалось доказать.

Доказано.

Примеры на расчет площадей параллелограмма

Пример 1. Смежные стороны параллелограмма равны 10 см и 12 см, а его острый угол равен . Найдите площадь параллелограмма.

Решение. Изобразим все на рисунке 3.

Рис. 3. Иллюстрация к примеру

Имеем следующие данные: . Проведем высоту  и получим прямоугольный треугольник .

Рассмотрим , в нем напротив угла в  лежит катет , который равен половине гипотенузы по свойству прямоугольного треугольника с углом . Т. е. .

Тогда, по формуле площади параллелограмма: .

Ответ..

Пример 2. Дан параллелограмм  с высотой , , острый угол равен . Найти площадь параллелограмма.

Решение. Изобразим параллелограмм  с проведенной высотой  на рисунке 4.

Рис. 4. Иллюстрация к примеру 

Рассмотрим прямоугольный треугольник :  равнобедренный .

          По условию  см.

          Тогда .

Ответ. .

Пример 3. Дан параллелограмм .  высота. . Найти площадь параллелограмма.

Решение. Изобразим параллелограмм  на рисунке 5.

Рис. 5. Иллюстрация к примеру

Поскольку  является высотой параллелограмма, то она перпендикулярна к обоим его основаниям и мы можем вычислить угол . Рассмотрим треугольник , он прямоугольный, следовательно, угол .

По уже упомянутому выше свойству прямоугольного треугольника, катет, который лежит напротив угла , равен половине гипотенузы, следовательно, .

.

Ответ. . 

ИСТОЧНИК

http://x-uni.com/geometriya/8-klass/video/ploschad-parallelogramma

http://www.youtube.com/watch?v=WfiwV0tPTQ0

http://www.youtube.com/watch?v=IEhXSgDsCDs

http://yroky.net/dmz/number/9/3/61/14/9.jpg

http://fs00.infourok.ru/images/doc/223/19958/2/img10.jpg

http://cs614921.vk.me/v614921053/1305d/Tfeee69FzvA.jpg

http://onlinegdz.net/wp-content/uploads/2015/09/%D0%93%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%8F-8-%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D1%81%D1%81-%D0%90%D1%82%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D1%81%D1%8F%D0%BD-466-%D0%B7%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5.jpg

http://i.ytimg.com/vi/TxN2S1TyQac/maxresdefault.jpg

http://u.5klass.net/zip/e5e7a59bad82452d29f5a183391d8f48.zip

http://cs1-48v4.vk-cdn.net/p24/3551abddfac0c8.mp3?extra=amJxaBk9gfTT0lPmsOEwb8Rn_T2twbNJH1OUazYT-T9cSSu4_1787ibMzOu6ytv1rZKrpdEq7XnWZN1f-bjAuKyWIFf7mzw

http://rushkolnik.ru/tw_files2/urls_3/891/d-890061/890061_html_m5ff065f.jpg

Файлы