8 класс. Геометрия. Площадь. Площадь треугольника и трапеции.

Комментарии преподавателя

Формула для площади треугольника и следствия из неё

На данном уроке мы докажем формулу для площади треугольника и решим несколько задач на её применение.

Будем называть сторону  – основанием, тогда  – высота, опущенная к этой стороне (см. Рис. 1).

Рис. 1. Высота и основание

Теорема о свойстве медианы треугольника

Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту.

В формульном виде: .

Доказательство:

Рис. 2. Иллюстрация к теореме

Достроим треугольник до параллелограмма  – см. Рис. 2.

 (по трём сторонам:  – общая, ,  – как противоположные стороны параллелограмма).

Из равенства треугольников следует равенство их площадей: . Получаем: . Воспользовавшись формулой для площади параллелограмма: .

Доказано.

Сформулируем несколько следствий из данной теоремы.

Следствие 1

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов (см. Рис. 3).

Рис. 3. Иллюстрация к следствию 1

.

Следствие 2

Если высоты двух треугольников равны, то их площади относятся как основания (см. Рис. 4).

Рис. 4. Иллюстрация к следствию 2

.

Теорема 2

Медиана треугольника разбивает его на два равновеликих треугольника (см. Рис. 5).

Доказательство:

Рис. 5. Иллюстрация к теореме

Пусть  – треугольник,  – медиана,  – высота. Для треугольников  –  также является высотой. Запишем формулу для площади каждого из этих треугольников: , . Так как  ( – медиана), то: . Значит, эти треугольники являются равновеликими.

Доказано.

Формула для площади ромба

Теорема 3

Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей (см. Рис. 6).

В виде формулы: .

Доказательство:

Рис. 6. Иллюстрация к теореме

 (по 3 сторонам:  – общая,  – свойства ромба). Из равенства треугольников следует равенство их площадей. Значит: . Но формулу для площади треугольника мы уже знаем:  (т. к. , поэтому  – высота треугольника ). Получаем следующее равенство:  ( – свойство диагоналей ромба).

Доказано.

Свойство треугольников с равными углами

Теорема 4

Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади этих треугольников относятся как произведения сторон, заключающих равные углы.

В виде формулы: .

Доказательство:

Рис. 7. Иллюстрация к теореме

Совместим треугольники так, чтобы вершина  совпала с вершиной , сторона  лежала на прямой , а сторона  лежала на прямой .

Рис. 8. Иллюстрация к теореме

Рассмотрим отношение площадей треугольников  и . Эти треугольники имеют общую высоту, проведённую из вершины , поэтому, по следствию 2 из теоремы 1, их площади относятся как основания, то есть: .

Из аналогичных соображений: . Перемножив эти два равенства, получим: .

Доказано.

Задачи на площадь треугольника и следствия из неё

Теперь решим несколько задач, используя доказанные формулы и свойства.

Задача 1

Площадь прямоугольного треугольника равна . Найдите катеты этого треугольника, если известно, что один из них составляет  другого.

Решение

Пусть один из катетов равен , а второй – . Тогда площадь треугольника можно вычислить по формуле: . Но, по условию: . Подставив это выражение, получаем: . Откуда: .

Ответ: .

Задача 2

В треугольнике  точка  лежит на стороне , точка  лежит на стороне . Кроме того: , , . Чему равна площадь треугольника  (Рис. 9)?

Решение:

Рис. 9. Иллюстрация к задаче

Воспользуемся теоремой 4 для треугольников  и  ( – общий угол этих треугольников). Из этой теоремы следует, что: . Значит: .

Ответ: .

На этом уроке мы рассмотрели понятия площадей треугольника и ромба, вывели из них некоторые следствия.  На следующем уроке мы научимся вычислять площадь трапеции.

ИСТОЧНИК

http://x-uni.com/geometriya/8-klass/video/ploschad-treugolnika

http://www.youtube.com/watch?v=2e7Qf6iEPPs

http://www.youtube.com/watch?v=mCI3Yj4t1O8

http://v.5klass.net/zip/7b9fd7f7274ef33da70777cf1fd1d25d.zip

http://fs01.metod-kopilka.ru/files/2015/01/11/Ploschad_treugolnika_8_klassna_18_noyabrya_pptx_1421009203.pptx

http://5klass.net/datas/geometrija/Ploschad-treugolnika-8-klass/0004-004-Ploschad-treugolnika.jpg

http://www.klassnye-chasy.ru/userfiles/ploshchad-treugolnika1.jpg

http://fs00.infourok.ru/images/doc/309/308291/img18.jpg

Файлы