8 класс. Геометрия. Площадь. Площадь треугольника и трапеции.

Комментарии преподавателя

 Цель урока

Мы знаем, что если у двух тре­уголь­ни­ков равны две сто­ро­ны и углы между ними тоже равны, то такие тре­уголь­ни­ки обя­за­тель­но равны. Это один из при­зна­ков ра­вен­ства тре­уголь­ни­ков.

 Признак равенства треугольников, прямоугольный треугольник

Если один из углов тре­уголь­ни­ка пря­мой и во вто­ром тре­уголь­ни­ке тоже один из углов пря­мой, то эти углы равны друг другу. И если сто­ро­ны, за­клю­ча­ю­щие пря­мые углы (а сто­ро­ны, ко­то­рые за­клю­ча­ют пря­мые углы, на­зы­ва­ют­ся ка­те­та­ми), равны, то равны и сами пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки. Но это, в свою оче­редь, озна­ча­ет, что если мы знаем два ка­те­та пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка, то ги­по­те­ну­за опре­де­ле­на одним един­ствен­ным об­ра­зом, ко­то­рый мы и рас­смот­рим.

 Египетский треугольник

Еще в Древ­нем Егип­те было из­вест­но, что если взять пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник, ка­те­ты ко­то­ро­го равны 3 и 4 еди­ни­цы, то ги­по­те­ну­за обя­за­тель­но будет равна 5 еди­ни­цам.

Рис. 1. Еги­пет­ский тре­уголь­ник

В Древ­нем Егип­те часто поль­зо­ва­лись таким тре­уголь­ни­ком. Он на­зы­ва­ет­ся еги­пет­ским тре­уголь­ни­ком (рис. 1). Это самый ма­лень­кий из пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ков с це­лы­ми сто­ро­на­ми. Вы мо­же­те сло­жить пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки с по­мо­щью спи­чек и уви­деть, что если хотя бы ка­кой-ни­будь из ка­те­тов будет мень­шим чис­лом, то ги­по­те­ну­за обя­за­тель­но не будет целым чис­лом.

 Формулирование теоремы Пифагора

Мы го­то­вы сфор­му­ли­ро­вать тео­ре­му Пи­фа­го­ра и за­пи­сать фор­му­лу, ко­то­рая поз­во­лит вы­чис­лить ги­по­те­ну­зу пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка, если из­вест­ны ка­те­ты этого пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка:

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке квад­рат ги­по­те­ну­зы равен сумме квад­ра­тов ка­те­тов.

Рис. 2. Пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник

 – эта фор­му­ла и на­зы­ва­ет­ся тео­ре­мой Пи­фа­го­ра (рис. 2).

Тео­ре­ма Пи­фа­го­ра фор­му­ла

 -  в пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке квад­рат ги­по­те­ну­зы равен сумме квад­ра­тов ка­те­тов.

 Задача №1, доказательство теоремы Пифагора

До­ка­жем тео­ре­му Пи­фа­го­ра.

За­да­ча № 1. Дано: пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник АВС, в ко­то­ром угол С – пря­мой (90 °). Катет ВС = a, катет АС = b, ги­по­те­ну­за АВ = с (рис. 3).

До­ка­зать: 

Рис. 3. Ил­лю­стра­ция к тео­ре­ме Пи­фа­го­ра

Ре­ше­ние.

В фор­му­ле, ко­то­рую нам необ­хо­ди­мо до­ка­зать, фи­гу­ри­ру­ют квад­ра­ты трех ве­ли­чин: квад­ра­ты с, а и b. В гео­мет­рии мы стал­ки­ва­ем­ся с квад­ра­та­ми длин от­рез­ков, когда счи­та­ем пло­ща­ди фигур. Но и, на­вер­ное, самая про­стая фи­гу­ра, пло­щадь ко­то­ро­го можем по­счи­тать – квад­рат. Со­от­ветс­вен­но, пер­вая мысль – до­стро­ить эту кар­тин­ку до квад­ра­тов. До­стро­им тре­уголь­ник АВС до квад­ра­та со сто­ро­ной а+b.

Для этого про­дол­жим катет АС на длину ка­те­та ВС (+ а), а ВС на длину ка­те­та АС (+ b) (рис. 4).

Рис. 4. Ил­лю­стра­ция к тео­ре­ме

До­стро­им по­лу­чив­шу­ю­ся кар­тин­ку до пря­мо­уголь­ни­ка (рис. 5).

Рис. 5. Ил­лю­стра­ция к тео­ре­ме

У этого пря­мо­уголь­ни­ка смеж­ные сто­оро­ны равны (а+b). Зна­чит, этот пря­мо­уголь­ник обя­за­тель­но яв­ля­ет­ся квад­ра­том. Обо­зна­чим по­лу­чив­ши­е­ся точки бук­ва­ми. По­лу­чим квад­рат СDEF.

Все сто­ро­ны этого ква­дар­та равны (а + b). Со­от­вет­ствен­но, сто­ро­ны DE и EF тоже можем раз­де­лить на от­рез­ки а и b. Обо­зна­чим эти точки бук­ва­ми G и H. Со­еди­ним точку А с точ­кой G, точку G с точ­кой Н, точку Н с точ­кой В (рис. 6).

Рис. 6. Ил­лю­стра­ция к тео­ре­ме

Квад­рат СDEF ока­зал­ся раз­ре­зан­ным на 5 фигур: 4 тре­уголь­ни­ка по углам и 1 че­ты­рех­уголь­ник в цен­тре. Если этот че­ты­рех­уголь­ник ока­жет­ся квад­ра­том, то это будет удоб­но для нас. Но это сна­ча­ла нужно до­ка­зать.

Вы­яс­ним, что мы знаем про по­лу­чив­шу­ю­ся фи­гу­ру. Все 4 тре­уголь­ни­ка обя­за­тель­но яв­ля­ют­ся пря­мо­уголь­ны­ми,по­то­му что каж­дый из них со­дер­жит один из углов квад­ра­та (Ð С = Ð D = Ð Е = Ð F = 90°). Ка­те­ты в этих тре­уголь­ни­ках равны а и b. Зна­чит, все эти тре­уголь­ни­ки равны друг другу (по двум сто­ро­нам и углу между ними). А если все эти тре­уголь­ни­ки равны друг другу, то равны все их со­от­ветс­вен­ные эле­мен­ты. На­при­мер, все ги­по­те­ну­зы у них обя­за­тель­но равны с (рис. 7).

Рис. 7. Ил­лю­стра­ция к тео­ре­ме

Зна­чит, че­ты­рех­уголь­ник АGНВ – ромб. Че­ты­рех­уголь­ник, у ко­то­ро­го все сто­ро­ны равны, на­зы­ва­ет­ся ромб. Мы до­ка­за­ли, что все сто­ро­ны равны, АG = GН = НВ = ВА = с. АGНВ – ромб.

Ги­по­те­ну­за не един­ствен­ное, что равно у наших тре­уголь­ни­ков. Еще у них равны все ост­рые углы. От­ме­тим это на кар­тин­ке. Во-пер­вых, равны Ð САВ = Ð DGA = Ð EHG = Ð FBH. Зе­ле­ным цве­том обо­зна­чим эти углы, ве­ли­чи­ной α. И такие углы тоже равны: Ð СВА = Ð DAG = Ð EGH = Ð FHB. Крас­ным цве­том обо­зна­чим углы ве­ли­чи­ной b (рис. 8).

Рис. 8. Ил­лю­стра­ция к тео­ре­ме

На нашей кар­тин­ке от­ме­че­но очень много углов, но не все. Остал­ся, на­при­мер, не от­ме­чен­ным Ð GАВ. Вы­чис­лим его.

Эти три угла вме­сте, Ð DAG, ÐGAB, Ð CAB, со­став­ля­ют раз­вер­ну­тый угол. Со­от­вет­ствен­но:

Ð GАВ = 180° - Ð CAB - Ð DAG = 180 ° - α - b.

Пре­об­ра­зу­ем эту фор­му­лу сле­ду­ю­щим об­ра­зом:

Ð GАВ = 180° - (α + b).

У нас по­лу­чи­лась сумма (α + b). Что такое сумма (α + b)? Это сумма ост­рых углов пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка. В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке сумма ост­рых углов равна 90°. По­это­му по­лу­ча­ет­ся:

Ð GАВ = 180° - (α + b) = 180° - 90° = 90°. То есть Ð GАВ – пря­мой. А зна­чит наш ромб АGНВ яв­ля­ет­ся квад­ра­том. Если в ромбе один из углов пря­мой, то этот ромб обя­за­тель­но квад­рат.

Мы по­лу­чи­ли: боль­шой квад­рат СDEF, квад­рат мень­ше АGНВ. Можно на­чи­нать за­пи­сы­вать пло­ща­ди.

С одной сто­ро­ны, СDEF – квад­рат и его пло­щадь можно по­счи­тать как квад­рат сто­ро­ны:

С дру­гой сто­ро­ны, этот квад­рат со­сто­ит из 5 фигур: 4 тре­уголь­ни­ков и квад­ра­та в цен­тре. Пло­щадь квад­ра­та в цен­тре равнас2, а че­ты­ре тре­уголь­ни­ка равны друг другу и пло­щадь каж­до­го из них – по­ло­ви­на про­из­ве­де­ния ка­те­тов.

Пло­щадь че­ты­рех­уголь­ни­ка СDEF не за­ви­сит от того, каким об­ра­зом мы с вами ее счи­та­ем. Она все­гда одна и та же. Со­от­вет­ствен­но, мы можем при­рав­нять наши ра­вен­ства, но сна­ча­ла их надо пре­об­ра­зо­вать.

В пер­вом ра­вен­стве рас­кры­ва­ем квад­рат суммы:

Во вто­ром слу­чае:

Пер­вое вы­ра­же­ние равно вто­ро­му.

И там, и там есть 2аb. От них легко от­ка­зать­ся – со­кра­тим их. И по­лу­чим:

То есть в нашем пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке квад­рат ги­по­те­ну­зы равен сумме квад­ра­тов ка­те­тов. Что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

Это до­ка­за­тель­ство – не един­ствен­ное до­ка­за­тель­ство тео­ре­мы Пи­фа­го­ра. У нее очень много до­ка­за­тельств. Тео­ре­ма Пи­фа­го­ра за­не­се­на даже в Книгу ре­кор­дов Гин­не­са за счет того, что у нее так много до­ка­за­тельств. Ин­те­рес­ным яв­ля­ет­ся тот факт, что мно­гие из них почти не тре­бу­ют ал­геб­ры. Вот, на­при­мер, в Древ­ней Индии ис­поль­зо­ва­ли такой спо­соб до­ка­за­тель­ства.

 Задача №2, доказательство Древней Индии

Ри­со­ва­ли 2 оди­на­ко­вых квад­ра­та. Один такой, как у нас уже был на­ри­со­ван (№1). И вто­рой тоже со сто­ро­ной (а + b). Такой же квад­рат, но раз­ре­за­ли его немно­го по-дру­го­му (№2) (рис. 9).

 

                                     №1                                                                              №2

Рис. 9. Ил­лю­стра­ция к тео­ре­ме

Сна­ча­ла его раз­ре­за­ли на 4 фи­гу­ры: 2 квад­ра­та. Один со сто­ро­ной а, вто­рой со сто­ро­ной b. Со­от­вет­ствен­но, по углам оста­ва­лись пря­мо­уголь­ни­ки со сто­ро­на­ми а и b. А даль­ше каж­дый из этих пря­мо­уголь­ни­ков со сто­ро­на­ми а и b раз­ре­за­ли по­по­лам на 2 тре­уголь­ни­ка.

Те­перь по­лу­ча­ет­ся 2 оди­на­ко­вых квад­ра­та, по-раз­но­му раз­ре­зан­ных. И в этих оди­на­ко­вых квад­ра­тах есть оди­на­ко­вые фи­гу­ры. Даже в одном и том же по­ло­же­нии. Их ра­вен­ство вы­де­ле­но оди­на­ко­вы­ми цве­та­ми на ри­сун­ках (рис. 10).

Рис. 10. Ил­лю­стра­ция к тео­ре­ме

Если у каж­дой кар­тин­ке вы­ре­зать эти тре­уголь­ни­ки, то на одной кар­тин­ке оста­ет­ся квад­рат со сто­ро­ной с и пло­ща­дью с2; а на дру­гой кар­тин­ке оста­ет­ся 2 квад­ра­та со сто­ро­на­ми а и b, сумма пло­ща­дей этих квад­ра­тов – это а2 + b2.

Такое до­ка­за­тель­ство ис­поль­зо­ва­ли в Древ­ней Индии.

 

 Понятие «пифагоровы штаны», задача №3

Также есть дру­гое до­ка­за­тель­ство, бла­го­да­ря ко­то­ро­му стало из­вест­но про «пи­фа­го­ро­вы штаны, ко­то­рые во все сто­ро­ны равны». По­смот­ри­те на кар­тин­ку (рис. 11).

Рис. 11. Ил­лю­стра­ция к тео­ре­ме

На ка­те­тах пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка по­стро­е­ны квад­ра­ты. На ги­по­те­ну­зе тоже по­стро­ен квад­рат. Его вы­ре­за­ли, и оста­лось пу­стое место (для удоб­ства окра­шен в зе­ле­ный цвет). Квад­ра­ты, ко­то­рые об­ра­зо­ва­ны на ка­те­тах, раз­ре­за­ны на 5 ку­соч­ков. По­про­бу­ем сло­жить из этих ку­соч­ков квад­рат на ги­по­те­ну­зе. (Из двух ма­лень­ких квад­ра­тов по­стро­и­ли боль­шой на ги­по­те­ну­зе. Каж­дый ку­со­чек со своей окрас­кой по­ка­зы­ва­ет рас­по­ло­же­ние в боль­шом квад­ра­те.)

Рис. 12. Ил­лю­стра­ция к тео­ре­ме

 Выводы

Мы видим, что квад­рат, по­стро­ен­ный на ги­по­те­ну­зе, со­бран из ку­соч­ков квад­ра­тов, по­стро­ен­ных на ка­те­тах (рис. 12). То есть пло­щадь этого квад­ра­та с2 равна сумме пло­ща­дей этих квад­ра­тов а2 + b2.

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/fakultativ/formulirovka-i-dokazatelstvo-teoremy-pifagora

http://www.youtube.com/watch?v=529Rj_xaS9Q

http://www.youtube.com/watch?v=O9qaVR2Xf-g

http://www.youtube.com/watch?v=GnfAViieGII

http://metodbook.ru/index.php/matematika/13-testy-po-geometrii-8-klass/94-test-po-geometrii-8-klass-tema-teorema-pifagora-variant-1.html

http://metodbook.ru/index.php/matematika/13-testy-po-geometrii-8-klass/95-test-po-geometrii-8-klass-tema-teorema-pifagora-variant-2.html

http://uchkollektor39.ru/uploads/images/items/5397b07a6344d4655e9aee3c8d38dc9d.jpg

http://volna.org/wp-content/uploads/2014/11/volna_org_tieoriema_pifaghora3.zip

Файлы