8 класс. Геометрия. Площадь. Площадь треугольника и трапеции.

Комментарии преподавателя

Теорема, обратная теореме Пифагора

1. История изучения прямоугольных треугольников

Сначала немного истории о теме сегодняшнего урока.

Прямоугольные треугольники, длины сторон которых выражаются целыми числами, называются пифагоровыми треугольниками. Достаточно большую известность получил так называемый «египетский треугольник» – прямоугольный треугольник со сторонами 3, 4 и 5, который был известен еще в древнем Китае. Известнейший немецкий историк математики Кантор считал, что еще в 2300 году до н.э. египтяне строили прямой угол с помощью именно такого треугольника, откуда и пошло его название. Построение прямого угла происходило следующим образом: бралась веревка длиной 12 метров и на ней привязывались цветные тканевые полоски (с одной стороны на расстоянии 3 м от края, с другой 4 метра от края), затем веревку натягивали в виде треугольника, чтобы на углах находились повязки. В результате, между участками веревки длиной 3 м и 4 м образовывался прямой угол.

2. Пифагоровы тройки

Отдельно следует отметить такое понятие, как пифагоровы тройки, – это все наборы из трех натуральных чисел, которые являются длинами сторон некоторых прямоугольных треугольников. Выпишем некоторые из них, начиная с рассмотренных длин сторон «египетского треугольника»: (3, 4, 5); (6, 8, 10); (5, 12, 13); (9, 12, 15); (8, 15, 17); (12, 16, 20)… Этот ряд можно продолжать до бесконечности. По возможности желательно запомнить хотя бы несколько первых «пифагоровых троек», т.к. они достаточно часто встречаются в решении задач по геометрии.

3. Теорема, обратная теореме Пифагора

Для всякой тройки положительных чисел , такой, что , существует прямоугольный треугольник с катетами  и гипотенузой .

Доказательство. Рассмотрим треугольник  (см. Рис. 1), у которого выполнено такое соотношение сторон: . Докажем, что его угол 

Рис. 1

Для того чтобы доказать требуемое утверждение, рассмотрим еще один треугольник , выберем его прямоугольным, т.е. с углом , причем, чтобы было выполнено следующее соотношение с элементами первого треугольника:  (см. Рис. 2). 

Рис. 2

По теореме Пифагора можем заметить, что для введенного нами второго треугольника выполнено , но из-за указанного равенства сторон между треугольниками:  . С другой стороны, по условию , следовательно, .

Таким образом,  по трем сторонам, из чего можно сделать вывод, что  т.е. треугольник  прямоугольный, что и требовалось доказать.

Доказано.

4. Примеры на применение теоремы, обратной теореме Пифагора

Рассмотрим примеры на применение доказанной нами теоремы.

Пример 1. Найдите наименьшую высоту треугольника со сторонами 5, 12, 13.

Решение.

Если обратить внимание на длины сторон треугольника, то можно заметить, что они являются пифагоровой тройкой, т.е. выполнено следующее: . Тогда по теореме, обратной теореме Пифагора, мы можем сделать вывод, что этот треугольник является прямоугольным. Изобразим его на Рис. 3.

Рис. 3

Чтобы искать в этом треугольнике какую-нибудь высоту, нам пригодится его площадь, найдем ее как половину произведения катетов: .

По условию задачи необходимо найти наименьшую высоту треугольника, поскольку наименьшая высота опущена на наибольшую сторону, а наибольшей стороной в прямоугольном треугольнике является гипотенуза, то нам необходимо найти высоту, проведенную к гипотенузе. Выразим ее из формулы площади для произвольного треугольника: .

Ответ. .

Пример 2. Найдите площадь четырехугольника , если .

Решение. Изобразим на Рис. 4 указанный четырехугольник.

Рис. 4

Обратим внимание на то, что длины сторон треугольников  образуют пифагоровы тройки: , а из этого следует, что  прямоугольные по теореме, обратной теореме Пифагора.

По третьему свойству площади можем указать, что .

Вычислим площади этих треугольников с учетом того, что они прямоугольные: . Таким образом, .

Ответ: 114.

ИСТОЧНИК

http://x-uni.com/geometriya/8-klass/video/teorema-obratnaya-teoreme-pifagora

http://www.youtube.com/watch?v=JQQsr4ErE-I

http://www.youtube.com/watch?v=FFI8juQoyGI

http://metodbook.ru/index.php/matematika/13-testy-po-geometrii-8-klass/98-teoreticheskij-test-po-geometrii-8-klass-tema-ploshchad.html

http://samopodgotovka.com/index.php/matematika/55-testy-po-geometrii/612-test-po-geometrii-8-klass-tema-teorema-pifagora-obratnaya-teorema-pifagora.html

Файлы