8 класс. Геометрия. Площадь. Площадь треугольника и трапеции.

Комментарии преподавателя

Повторение темы «Площадь». Решение задач

1. Повторение теоретической части главы «Площадь»

Вначале уделим внимание тому, что вспомним все основные теоремы, формулы и факты, полученные нами при изучении главы «Площадь», и акцентируем внимание на их особенностях. Затем рассмотрим сложный пример на комплексное применение нескольких из упомянутых фактов, касающихся площадей фигур.

1. Площадь квадрата равна квадрату его стороны (см. Рис. 1). .

Рис. 1. Квадрат

2. Площадь прямоугольника равна произведению его сторон (см. Рис. 2).  .

Рис. 2. Прямоугольник

          3. Площадь параллелограмма равна произведению основания на опущенную на него высоту (см. Рис. 3). .

Рис. 3. Параллелограмм

4. Площадь произвольного треугольника равна половине произведения основания на опущенную на него высоту (см. Рис. 4). .

Рис. 4. Произвольный треугольник

5. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов (см. Рис. 5). .

Рис. 5. Прямоугольный треугольник

6. Если у двух треугольников высоты равны (), то их площади относятся, как основания (см. Рис. 6). . Полезный факт, необязательный к изучению.

Рис. 6

7. Медиана треугольника делит его на два равновеликих треугольника (см. Рис. 7).  .

Рис. 7

8. Площадь ромба равна половине произведения диагоналей (см. Рис. 8). . Однако, поскольку ромб является частным случаем параллелограмма, то его площадь можно находить и по формуле площади параллелограмма.

Рис. 8. Ромб

9. Если у двух треугольников равны углы (), то их площади относятся, как произведение сторон, заключающих данные углы (см. Рис. 9). . Полезный факт, не обязательный к изучению.

Рис. 9

10. Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту (см. Рис. 10). .

Рис. 10. Трапеция

11. Теорема Пифагора. Для прямоугольного треугольника с катетами  и  и гипотенузой  квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов  (см. Рис. 11).

Теорема, обратная теореме Пифагора. Для всякой тройки положительных чисел , такой, что , существует прямоугольный треугольник с катетами  и гипотенузой .

Рис. 11

12. Формула Герона. Применяется для нахождения площади треугольника, если известны длины его сторон (см. Рис. 12). , где  полупериметр треугольника.

Рис. 12

2. Рассмотрение сложного примера

Пример 1. Через вершину прямого угла прямоугольного треугольника с катетами 6 м и 8 м проведен перпендикуляр к гипотенузе. Вычислить площади образовавшихся треугольников.

Решение. Изобразим Рис.13.

Рис. 13

Нам известно:  высота в .

Найдем по теореме Пифагора гипотенузу треугольника: .

Для того чтобы в дальнейшем выразить высоту треугольника, вычислим его площадь с помощью катетов: . Выразим высоту треугольника  из формулы площади произвольного треугольника: .

Рассмотрим треугольник  (первый из тех, на которые высота разбила треугольник ). Его площадь как прямоугольного . Поскольку сторона  не известна, найдем ее по теореме Пифагора: . Тогда .

Площадь треугольника  (второго из тех, на которые высота разбила треугольник ) можно найти аналогично либо путем вычитания из площади треугольника  площади треугольника . Но воспользуемся тем же методом, который мы уже применяли в этой задаче.  прямоугольный, следовательно, . Найдем : . Тогда .

Ответ: ; .

ИСТОЧНИК

http://x-uni.com/geometriya/8-klass/video/povtorenie-temy-ploschad

http://www.youtube.com/watch?v=nP8nGbfFN7A

http://www.youtube.com/watch?v=Zw9Vm3gDOno

http://www.youtube.com/watch?v=yG8xUJyfS_E

http://metodbook.ru/index.php/matematika/13-testy-po-geometrii-8-klass/96-test-po-geometrii-8-klass-obobshchenie-temy-ploshchad-variant-1.html

http://metodbook.ru/index.php/matematika/13-testy-po-geometrii-8-klass/97-test-po-geometrii-8-klass-obobshchenie-temy-ploshchad-variant-2.html

http://www.uchportal.ru/_ld/105/10586_zad_ploschadi.rar

http://rushkolnik.ru/tw_files2/urls_3/891/d-890061/890061_html_m5ff065f.jpg

http://cs1-48v4.vk-cdn.net/p24/3551abddfac0c8.mp3?extra=amJxaBk9gfTT0lPmsOEwb8Rn_T2twbNJH1OUazYT-T9cSSu4_1787ibMzOu6ytv1rZKrpdEq7XnWZN1f-bjAuKyWIFf7mzw

Файлы