8 класс. Геометрия. Подобные треугольники. Признаки подобия треугольников.
8 класс. Геометрия. Подобные треугольники. Признаки подобия треугольников.
Комментарии преподавателя
Определение подобия, равенства фигур
Фигура – это множество точек (треугольник, окружность, трапеция и т.д.). Некоторые фигуры могут иметь одинаковые размеры и одинаковую форму. Они называются равными. Две геометрические фигуры называются равными, если их можно совместить наложением.
Ранее рассмотренные признаки равенства треугольника имели такой смысл: по трем элементам гарантировали равенство треугольников, а значит, и равенство всех соответственных элементов (высот, биссектрис, медиан). Эти элементы совместятся при наложении.
Итак, равные фигуры имеют:
¾ одинаковую форму;
¾ одинаковые размеры.
Рассмотрим фигуру, форму которого оставим прежней, а размеры изменим в равное число раз.
Примеры подобия общих фигур
Пример 1
Имеем правильный треугольник АВС. Длина стороны равна а. Уменьшим сторону, разделив ее на 2. Получим треугольник А1В1С1, сторона которого равна 
. Этот треугольник правильный. Форма осталась прежней, а размеры изменились – уменьшились в два раза (рис. 1). Далее докажем это.
Рис. 1 Подобные треугольники
Доказательство
Мы встречались с таким треугольником А2В2С2. Его вершины – это середины сторон исходного треугольника АВС (см. рис. 2).
Рис. 2. Правильный треугольник
В итоге: был правильный ∆АВС; получили второй правильный ∆ А1В1С1. Длина стороны второй фигуры изменилась в два раза. Такие треугольники называются подобными. Записывают следующим образом: ∆ АВС 
∆ А1В1С1.
Коэффициент подобия k = 2, так как все размеры изменились в два раза.
Пример 2
Приближаемся к дому. Дом издалека – маленький прямоугольник. Подходим ближе – прямоугольник большой, но, видимо, размеры изменились в одно и то же число раз. Это второй пример подобных фигур.
Пример 3
Имеем карту Крыма и реальный Крым. Масштаб приблизительно 1: 10 000 раз. Форма одна и та же, но все размеры изменены в 10 000 раз – уменьшены.
Это примеры фигур, которые имеют одинаковую форму, но разные размеры. Причем размеры изменяются в одно и то же число раз.
Пример применение подобия фигур, в частности треугольников
После вышеуказанных признаков равенства треугольников изучим признаки подобия треугольников. Суть: по небольшой информации об исходных треугольниках мы получаем много информации об этих треугольниках.
Пример 4
Пусть удалось установить подобие треугольников ∆АВС ∆А1В1С1 и найти коэффициент подобия k = 3, то мы можем утверждать, что все линейные размеры треугольников пропорциональны соотношениям, равным 3.
При этом равенство фигур будет частным случаем подобия с коэффициентом подобия k =1.
Разветвление. Пропорциональные отрезки
Чтобы изучать подобие фигур (в частности, треугольников), необходимо перевести определенные понятия на строгий математический язык.
1. Пропорциональные отрезки
Если 
то отрезки 
и 
называются пропорциональными отрезкам 
и 
.
В определении подобных треугольников важную роль играет пропорциональность отрезков. С пропорциональными отрезками встречаемся в обобщенной теореме Фалеса (ссылка 2): стороны угла Ð О рассекаются параллельными прямымиl1||l2||l3 на пропорциональные части.
= 
и т.д.
Определение подобие треугольников
Имеем два треугольника, у которых соответственно равны углы (рис. 3)
Ð А = Ð А1;
Ð В = Ð В1;
Ð С = Ð С1.
Рис. 3. Треугольники с соответственно равными углами
Стороны, которые лежат против равных углов в этих треугольниках, называются сходственными: АВ и А1В1;
ВС и В1С1;
СА и С1А1.
Определение подобных треугольников рассмотрим ниже.
Определение: два треугольника называются подобными, если:
¾ их углы соответственно равны (приведено выше);
¾ сходственные стороны пропорциональны. Их соотношение назовем k – коэффициентом подобия.
Треугольники подобны, если выполняются все эти условия. Но, оказывается, можно ограничиться только некоторыми из этих равенств и гарантировать факт подобия.
Цель на следующих уроках: изучить три признака подобия треугольников.
Разветвление. Задача на пропорциональность отрезков
Докажем теорему, что биссектриса угла треугольника рассекает его противоположенную сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам.
Дано: AL – биссектриса.
Доказать: 
.
Доказательство
S1 – площадь ∆ ABL
S2 – площадь ∆ ACL
Вспомним, что биссектриса – геометрическое место точек, равноудаленных от сторон угла. И этим свойством обладают все ее точки, в том числе и точка L. Поэтому расстояние r от точки до сторон угла одно и то же. Используя свойство биссектрисы запишем: 
.
Так как левые части равны, то равны и правые:
Теорема доказана.
ИСТОЧНИК
http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/podobnye-treugolniki/podobie-obschih-figur
http://www.youtube.com/watch?v=GKpXvzdLU_s
http://www.youtube.com/watch?v=YgCejzSjHUc
https://www.youtube.com/watch?v=cGEjWLLSdDE
http://u.900igr.net/zip/178a788874f31afcebc83a7912a12dfb.zip
http://prezentacii.com/uploads/ppt15/02/opredelenie-podobnyh-treugolnikov-8-klass.rar
https://im0-tub-ru.yandex.net/i?id=e821a8f9558f985e56f1e5701baecc6f&n=33&h=190&w=133
http://fs00.infourok.ru/images/doc/222/16935/1/img3.jpg