8 класс. Геометрия. Подобные треугольники. Практические приложения подобия треугольников.

Средняя линия треугольника.

ДАЛЬШЕ

Средняя линия треугольника.

Комментарии преподавателя

Средняя линия треугольника

1. Повторение второго признака подобия и свойства параллельности прямых

Повторим второй признак подобия треугольников.

Теорема 1. Второй признак подобия треугольников (по двум сторонам и углу между ними). Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы между этими сторонами равны, то такие треугольники подобны (см. Рис. 1).

.

Рис. 1

Определение. Два треугольника называются подобными, еслиих углы попарно равны, а стороны, лежащие напротив соответственных углов, пропорциональны.

.

Теорема 2. Свойство и признак параллельности прямых. Если прямые параллельны, то их соответственные углы равны; если соответственные углы равны, то прямые параллельны (см. Рис. 2).

.

Рис. 2

2. Определение и теорема о средней линии треугольника

Определение. Средняя линия треугольника – это отрезок, соединяющий середины сторон треугольника. На Рис. 3 средняя линия треугольника , основание.

Теорема 3. Теорема о средней линии треугольника. Средняя линия треугольника параллельна основанию и равна его половине (Рис. 3).

.

Доказательство.

По условию известно, что .

Рис. 3

Рассмотрим и :

по второму признаку подобия треугольников. Следовательно, как соответственные, а по признаку параллельности прямых: . Параллельность средней линии и соответствующего ей основания доказана.

Кроме того, из подобия треугольников можно выписать и отношение их третьих сторон . То, что средняя линия равна половине соответствующего основания, доказано.

Доказано.

3. Пример на использование теоремы о средней линии треугольника

Пример 1. В треугольнике середины сторон . Найти периметр (см. Рис. 4).

Решение.

Рис. 4

Начнем с того, что проверим существование указанного в условии треугольника , для этого запишем неравенство треугольника для его наибольшей стороны: , неравенство выполнено, следовательно, такой треугольник существует.

Соединим середины сторон треугольника и получим его средние линии, найдем их длины по теореме о средней линии:

.

Ответ. 10.

4. Теорема о пересечении медиан треугольника

Теорема 4. Теорема о пересечении медиан треугольника. Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которой делят друг друга в отношении считая от вершины (см. Рис. 5).

.

Доказательство. Обозначим на рисунке точки – середины сторон треугольника соответственно.

Рассмотрим две медианы и , они пересекаются в некоторой точке (см. Рис. 6).

Рис. 5, рис. 6

Следует доказать, что они пересекаются, т.к. возможно, что медианы могут быть параллельны. В таком случае для них отрезок был бы секущей, а , но эти углы составляют некоторую часть от углов треугольника , а сумма его углов равна , значит, такое невозможно, и медианы и пересекаются.

Проведем отрезок , он соединяет середины сторон треугольника, а следовательно, по определению является средней линией, а по теореме о средней линии . Эти два параллельных отрезка пересекаются секущими и , а из этого следует, что и как накрест лежащие. Из этого можно сделать вывод о том, что по первому признаку подобия треугольников. Коэффициент подобия этих треугольников по теореме о средней линии , а по определению подобных треугольников .

Доказано, что две медианы треугольника пересекают друг друга в отношении 2:1, считая от вершины, аналогично будем рассуждать и о третьей медиане. Поскольку в качестве пары медиан можно выбрать, например, медианы и , то и они точкой пересечения будут рассекать друг друга в отношении 2:1, считая от вершины. Однако не факт, что точки пересечения одной пары медиан и второй пары медиан совпадут. Предположим, что это не так, и . Тогда Рассмотрим дополнительный Рис. 7, на котором изобразим отдельно медиану .

Рис. 7

Поскольку известно, что отрезок и точкой , и точкой делится в отношении 2:1, считая от вершины , то эти точки совпадают, т.к. у любого отрезка, очевидно, такая точка только одна, т.е. и все медианы треугольника пересекаются в одной точке .