8 класс. Геометрия. Подобные треугольники. Практические приложения подобия треугольников.

Теорема о пропорциональных отрезках.

НАЗАД ДАЛЬШЕ

Теорема о пропорциональных отрезках.

Комментарии преподавателя

Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике

1. Первый признак подобия и его формулировка для прямоугольного треугольника

На этом уроке мы познакомимся с пропорциональными отрезками в прямоугольном треугольнике, выведем соответствующие формулы.

Для этого нам понадобится первый признак подобия треугольников. Вспомним его: если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны (см. Рис. 1).

Рис. 1

; . При этом коэффициент называется коэффициентом подобия.

2. Углы в прямоугольном треугольнике

Теперь рассмотрим прямоугольные треугольники.

Поскольку в прямоугольных треугольниках всегда есть пара равных углов (это прямые углы), то для них можно сформулировать следующий признак подобия: прямоугольные треугольники подобны, если имеют равные острые углы (см. Рис. 2).

Рис. 2

.

При этом отметим важный факт: в прямоугольных треугольниках сумма острых углов равна :

Рассмотрим простую задачу для прямоугольного треугольника.

Дано: – прямоугольный (), , – высота.

Найти: остальные углы треугольника (см. Рис. 3).

Решение:

Для решения задачи будем использовать сформулированный выше факт: сумма острых углов прямоугольного треугольника равна

Рис. 3

. Значит, .

Кроме того, треугольник – также прямоугольный, поэтому сумма его острых углов также равна (см. Рис. 4).

Аналогично с треугольником : .

Рис. 4

Из этого свойства прямоугольного треугольника и его высоты, проведённой к гипотенузе, следует несколько важных фактов.

Рассмотрим прямоугольный треугольник с высотой, которая проведена к гипотенузе (см. Рис. 5).

Рис. 5

– проекция катета на гипотенузу , – проекция катета на гипотенузу – это стандартные обозначения.

На Рис. 5 изображено три прямоугольных треугольника , причём в каждом из них есть острый угол . Значит, эти треугольники подобны по первому признаку подобия для прямоугольных треугольников: .

3. Теоремы о пропорциональных отрезках в прямоугольном треугольнике

С помощью этого факта можно доказать три теоремы:

1. (катет равен среднему геометрическому гипотенузы и своей проекции на неё).

2. (катет равен среднему геометрическому гипотенузы и своей проекции на неё).

3. (высота, проведённая к гипотенузе, равна среднему геометрическому проекций катетов на гипотенузу).

Определение

Средним геометрическим двух неотрицательных чисел и называется такое неотрицательное число , что: .

Докажем сформулированные выше теоремы.

4. Доказательство теорем

Теорема 1. .

Доказательство:

Воспользуемся подобием треугольников . Запишем отношение соответствующих сторон: (отношение сторон, лежащих против угла , равно отношению сторон, лежащих против угла ). Из этой пропорции получаем: . Или: .

Доказано

Теорема 2. .

Доказательство:

Воспользуемся подобием треугольников . Запишем отношение соответствующих сторон: . (отношение сторон, лежащих против угла , равно отношению сторон, лежащих против угла ). Из этой пропорции получаем: . Или: .

Доказано.

Теорема 3. .

Доказательство

Воспользуемся подобием треугольников . Запишем отношение соответствующих сторон: (отношение сторон, лежащих против угла , равно отношению сторон, лежащих против угла ). Из этой пропорции получаем: . Или: .