8 класс. Геометрия. Подобные треугольники. Практические приложения подобия треугольников.
8 класс. Геометрия. Подобные треугольники. Практические приложения подобия треугольников.
Комментарии преподавателя
Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника
1. Повторение основных понятий, связанных с прямоугольным треугольником
На этом уроке мы познакомимся с синусом, косинусом и тангенсом – тригонометрическими функциями, связывающими острый угол прямоугольного треугольника с катетами и гипотенузой этого треугольника. Это очень важные понятия, которые будут встречаться не только в геометрии, но и в алгебре, физике и во многих других науках.
Напомним основные сведения о прямоугольном треугольнике (см. Рис. 1).
Рис. 1
;
– катеты; 
– гипотенуза.
Также в прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 
: 
.
Для прямоугольного треугольника также верна теорема Пифагора: 
.
Введём теперь понятие синуса, косинуса и тангенса острого угла прямоугольного треугольника.
2. Определение синуса, косинуса и тангенса острого угла прямоугольного треугольника
Определение
Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего этому углу катета к гипотенузе.
, 
.
Определение
Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего к этому углу катета к гипотенузе.
, 
.
Определение
Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего этому углу катета к прилежащему катету.
, 
.
3. Связь катетов и гипотенузы, двух катетов через тригонометрические функции угла
С помощью введённых понятий можно находить катеты или гипотенузу.
Например, из формулы: 
. Аналогично: 
.
Также можно получить формулу для связи длин двух катетов: 
.
4. Связь синуса и косинуса двух острых углов прямоугольного треугольника
При решении задач очень важно знать соотношения между синусом, косинусом и тангенсом острого угла прямоугольного треугольника.
Рассмотрим следующие две формулы: 
. Так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна , то формула приобретает следующий вид:
Аналогично получаем: 
. Так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна , то формула приобретает следующий вид:
5. Формула, связывающая тангенс с синусом и косинусом
Докажем теперь важную формулу, связывающую тангенс с синусом и косинусом:
6. Доказательство независимости значения тригонометрических функций от размеров треугольника
Доказательство
Запишем определение синуса и косинуса острого угла прямоугольного треугольника: , . Тогда: 
. Доказано.
Аналогично: 
.
Рассмотрим следующую важную задачу.
Задача
Даны прямоугольные треугольники 
. Кроме того, 
.
Доказать:
.
Доказательство
(так как оба треугольника прямоугольные с равными острыми углами). Значит, выполняется следующее соотношение: 
.
Отсюда получаем: 
.
.
.
Доказано.
Вывод: синус, косинус и тангенс не зависят от треугольника, а зависят только от угла.
7. Основное тригонометрическое тождество
Сформулируем и докажем одну из важнейших теорем, связывающих синус и косинус острого угла прямоугольного треугольника, – основное тригонометрическое тождество.
Основное тригонометрическое тождество: 
.
Примечание: 
Доказательство
, тогда: 
(при доказательстве мы пользовались теоремой Пифагора: ).
Доказано.
Рассмотрим пример, иллюстрирующий связь тригонометрических функций.
8. Решение примера
Дано: 
– прямоугольный (
), 
.
Найти: 
Решение
Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: . Подставим в него известное нам значение синуса: 
. Отсюда: 
. Так как косинус, по определению, – это отношение катета к гипотенузе, то он может быть только положительным, поэтому: 
.
Найдём теперь тангенс угла, пользуясь формулой: 
.
Ответ: 
.
ИСТОЧНИК
http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/podobnye-treugolniki/sinus-kosinus-i-tangens-ostrogo-ugla-pryamougolnogo-treugolnika
http://www.youtube.com/watch?v=PWnvUpWT0TU
http://www.youtube.com/watch?v=NltgxlJpddg
http://www.youtube.com/watch?v=CvQYL11ce4c
http://www.funlib.ru/cimg/2014/102107/3325015
http://edu.convdocs.org/tw_files2/urls_25/7/d-6526/img4.jpg
http://player.myshared.ru/771881/data/images/img6.jpg