8 класс. Геометрия. Подобные треугольники. Практические приложения подобия треугольников.

Комментарии преподавателя

По­вто­ре­ние темы «По­доб­ные тре­уголь­ни­ки». Ре­ше­ние задач

 1. Определение подобных треугольников

На этом уроке мы по­вто­рим тему «По­доб­ные тре­уголь­ни­ки».

Для на­ча­ла вспом­ним опре­де­ле­ние по­доб­ных тре­уголь­ни­ков.

Опре­де­ле­ние

Тре­уголь­ни­ки  и  на­зы­ва­ют­ся по­доб­ны­ми тре­уголь­ни­ка­ми (), если у них все углы равны, а со­от­вет­ству­ю­щие сто­ро­ны про­пор­ци­о­наль­ны (см. Рис. 1).

Рис. 1

; .

При этом ко­эф­фи­ци­ент  на­зы­ва­ет­ся ко­эф­фи­ци­ен­том по­до­бия.

Если обо­зна­чить: , можно по­лу­чить сле­ду­ю­щие со­от­но­ше­ния между сто­ро­на­ми по­доб­ных тре­уголь­ни­ков: .

Кроме того, пло­ща­ди по­доб­ных тре­уголь­ни­ков от­но­сят­ся как квад­рат ко­эф­фи­ци­ен­та по­до­бия: .

 2. Признаки подобия треугольников

Для того чтобы опре­де­лить, яв­ля­ют­ся ли тре­уголь­ни­ки по­доб­ны­ми, не при­бе­гая к опре­де­ле­нию, су­ще­ству­ют при­зна­ки по­до­бия тре­уголь­ни­ков.

Всего су­ще­ству­ет три при­зна­ка по­до­бия. Пе­ре­чис­лим их:

1.      По ра­вен­ству двух углов: если два угла од­но­го тре­уголь­ни­ка равны двум углам дру­го­го тре­уголь­ни­ка, то такие тре­уголь­ни­ки по­доб­ны:.

2.      По про­пор­ци­о­наль­но­сти двух сто­рон и ра­вен­ству угла между ними: если две сто­ро­ны од­но­го тре­уголь­ни­ка про­пор­ци­о­наль­ны со­от­вет­ствен­но двум сто­ро­нам дру­го­го тре­уголь­ни­ка, а углы, за­клю­чён­ные между этими сто­ро­на­ми, равны, то такие тре­уголь­ни­ки по­доб­ны: .

3.      По про­пор­ци­о­наль­но­сти трёх сто­рон: если три сто­ро­ны од­но­го тре­уголь­ни­ка про­пор­ци­о­наль­ны со­от­вет­ствен­но трём сто­ро­нам дру­го­го тре­уголь­ни­ка, то такие тре­уголь­ни­ки по­доб­ны: .

С по­мо­щью по­до­бия тре­уголь­ни­ков до­ка­зы­ва­ет­ся свой­ство сред­ней линии тре­уголь­ни­ка. На­пом­ним опре­де­ле­ние сред­ней линии тре­уголь­ни­ка.

 3. Свойства средней линии и медиан треугольника

Сред­няя линия тре­уголь­ни­ка – от­ре­зок, со­еди­ня­ю­щий се­ре­ди­ны двух сто­рон тре­уголь­ни­ка.

Свой­ство сред­ней линии тре­уголь­ни­ка: сред­няя линия тре­уголь­ни­ка па­рал­лель­на сто­роне тре­уголь­ни­ка и равна её по­ло­вине (см. Рис. 2).

Рис. 2

.

С по­до­би­ем свя­за­но до­ка­за­тель­ство ещё од­но­го важ­но­го факта – свой­ства ме­ди­ан тре­уголь­ни­ка (ко­то­рое ино­гда ещё на­зы­ва­ют тео­ре­мой Ар­хи­ме­да): ме­ди­а­ны тре­уголь­ни­ка пе­ре­се­ка­ют­ся в одной точке, при­чём точ­кой пе­ре­се­че­ния де­лят­ся в от­но­ше­нии , счи­тая от вер­ши­ны тре­уголь­ни­ка (см. Рис. 3).

Рис. 3

; 

 4. Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике

По­лез­ны­ми свой­ства по­до­бия ока­зы­ва­ют­ся и в пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ках. Мы вы­яс­ни­ли, что вы­со­та пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка, про­ве­дён­ная к ги­по­те­ну­зе, делит тре­уголь­ник на два по­доб­ных пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ка, ко­то­рые по­доб­ны также ис­ход­но­му тре­уголь­ни­ку. Из этого сле­ду­ет сразу несколь­ко важ­ных фак­тов, свя­зы­ва­ю­щих про­пор­ци­о­наль­ные от­рез­ки в пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке (см. Рис. 4).

Рис. 4

.

1.       (катет равен сред­не­му гео­мет­ри­че­ско­му ги­по­те­ну­зы и своей про­ек­ции на неё).

2.       (катет равен сред­не­му гео­мет­ри­че­ско­му ги­по­те­ну­зы и своей про­ек­ции на неё).

3.       (вы­со­та, про­ве­дён­ная к ги­по­те­ну­зе, равна сред­не­му гео­мет­ри­че­ско­му про­ек­ций ка­те­тов на ги­по­те­ну­зу).

 5. Решение примера

Рас­смот­рим за­да­чу, в ко­то­рой ис­поль­зу­ют­ся по­лу­чен­ные в теме «По­доб­ные тре­уголь­ни­ки» зна­ния.

За­да­ча

Дан пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник . В нём про­ве­де­на вы­со­та . . Найти вы­со­ту тре­уголь­ни­ка, ка­те­ты, а также синус угла  и тан­генс угла .

Дано: ,  – вы­со­та, .

Найти:  – ?

Ре­ше­ние

Рис. 5

Вос­поль­зу­ем­ся со­от­но­ше­ни­я­ми между про­пор­ци­о­наль­ны­ми от­рез­ка­ми в пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке:

.

.

.

Най­дём синус угла , вос­поль­зо­вав­шись опре­де­ле­ни­ем си­ну­са остро­го угла пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка – от­но­ше­ние про­ти­во­ле­жа­ще­го ка­те­та к ги­по­те­ну­зе:

.

Най­дём тан­генс угла , вос­поль­зо­вав­шись опре­де­ле­ни­ем тан­ген­са остро­го угла пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка – от­но­ше­ние про­ти­во­ле­жа­ще­го ка­те­та к при­ле­жа­ще­му: .

Ответ: .

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/podobnye-treugolniki/povtorenie-temy-podobnye-treugolniki-reshenie-zadach

http://www.youtube.com/watch?v=cu24HiYohk0

http://www.youtube.com/watch?v=T7dLQeh7kRU

http://www.youtube.com/watch?v=Odyr65t5S5k

http://metodbook.ru/index.php/matematika/13-testy-po-geometrii-8-klass/107-test-po-geometrii-8-klass-obobshchenie-temy-podobnye-treugolniki-variant-1.html

http://metodbook.ru/index.php/matematika/13-testy-po-geometrii-8-klass/108-test-po-geometrii-8-klass-obobshchenie-temy-podobnye-treugolniki-variant-2.html

http://metodbook.ru/index.php/matematika/13-testy-po-geometrii-8-klass/109-teoreticheskij-test-po-geometrii-8-klass-tema-podobnye-treugolniki.html

http://rushkolnik.ru/tw_files2/urls_3/891/d-890061/890061_html_m5ff065f.jpg

http://cs1-48v4.vk-cdn.net/p24/3551abddfac0c8.mp3?extra=amJxaBk9gfTT0lPmsOEwb8Rn_T2twbNJH1OUazYT-T9cSSu4_1787ibMzOu6ytv1rZKrpdEq7XnWZN1f-bjAuKyWIFf7mzw

Файлы