6 класс. Математика. Наибольший общий делитель. Алгоритм Евклида
6 класс. Математика. Наибольший общий делитель. Алгоритм Евклида
Комментарии преподавателя
Введение
Давайте разберемся, что означает понятие наибольший общий делитель. Попробуем объяснить в нестрогой форме.
Допустим, у нас есть два числа, у этих двух чисел есть число, на которое они оба делятся. Максимально большое такое число и есть наибольшим общим делителем. Т.е. наибольший общий делитель – наибольшее число, на которое можно разделить несколько чисел без остатка. Строгое определение мы рассмотрим чуть позже.
Сейчас рассмотрим пример, который иллюстрирует данную идею.
Задача 1
У нас есть 48 шоколадок и 36 конфет. Мы хотим из этого набора составить некоторые комплекты, которые мы подарим детям на Новый год. Какое наибольшее количество комплектов мы можем сделать так, чтобы всем детям досталось поровну?
Решение
Чтобы поделить шоколадки и конфеты поровну, нам нужно разделить и шоколадки, и конфеты нацело на количество подарков. Например, если поделить их на два подарка, то в каждом подарке будет по 24 шоколадки и 18 конфет. То есть количество шоколадок или конфет нужно поделить на количество подарков, и оно будет делителем количества шоколадок или конфет.
Давайте найдем наибольший общий делитель чисел 48 и 36. Выпишем все делители для обоих чисел:
- 48: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48,
- 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.
Давайте выделим из них общие делители: 1, 2, 3, 4, 6, 12.
Наибольший из общих делителей – 12.
Значит, мы можем сделать 12 подарков, и несложно посчитать, что в каждом из них будет по 4 шоколадки и по 3 конфеты.
Ответ: 12 комплектов.
Давайте дадим точное определение наибольшему общему делителю.
Определение наибольшего общего делителя
Определение наибольшего общего делителя: наибольший общий делитель (НОД) двух и более натуральных чисел – это наибольшее из натуральных чисел, на которое делится каждое из данных чисел.
Есть два числа 
, 
, их наибольший делитель будет записан так: 
. Например, 
.
Числа в скобках написаны через точку с запятой, чтобы не путать числа с десятичной дробью. Существует еще такая форма записи НОД: 
. Но чаще используют первый вариант.
Свойства НОД
Давайте подумаем, в каких границах может находиться НОД двух чисел.
Первое свойство: у любых двух чисел есть хотя бы один общий делитель, и это число 1.
И здесь мы введем понятие взаимно простых чисел. Два числа называются взаимно простыми, если их наибольший общий делитель равен единице. Что это значит? Это значит, что на самом деле у них нет других общих делителей, кроме единицы. Какие примеры взаимно простых чисел мы можем привести? Например, числа 2 и 3, которые мы рассматривали выше. Числа 3 и 7 также взаимно простые.
Очень важно не путать понятия взаимно простых чисел и простых чисел.
Из того, что числа взаимно простые, еще не следует, что они простые. Например, 
. Тем не менее, ни 9, ни 10 не являются простыми числами, но они взаимно простые.
Второе свойство: как вы думаете, если даны два числа и , причем нацело делится на (
), чему тогда равен 
?
– такое наибольшее число, на которое делятся и , и . Логично, что наибольшее число, на которое делится – , а – по условию.
Значит, 
.
Например, 
.
Аналогично 
.
, потому что 
, и больше 1 результат быть не может.
Теперь давайте найдем удобный способ нахождения НОД.
Задача 2
В первом примере мы просто выписывали все числа, но такой способ не особо удобен при рассмотрении больших чисел. Давайте рассмотрим метод разложения на множители.
Рассмотрим все те же числа 36 и 48:
источник конспекта - http://interneturok.ru/ru/school/matematika/6-klass/delimost-chisel/naibolshiy-obschiy-delitel-algoritm-evklida
источник видео - http://www.youtube.com/watch?v=2GbwMHxORHI
источник видео - http://www.youtube.com/watch?v=83_vCSky_jg
источник видео - http://www.youtube.com/watch?v=cn2geFx5xAI
источник видео - http://www.youtube.com/watch?v=0Jo_BQFzvFc
источник презентации - http://ppt4web.ru/matematika/algoritm-evklida.html