6 класс. Математика. Наименьшее общее кратное (Вольфсон Г.И.)

Наименьшее общее кратное

НАЗАД ДАЛЬШЕ

Наименьшее общее кратное

Комментарии преподавателя

Вводная задача

Для начала решим задачу.

Задача № 1

Один экскурсионный автобус совершает полную экскурсию по городу за 2 часа, а другой – за 3 часа, оба автобуса выехали из базы в 10 часов утра. В какое время автобусы впервые встретятся на базе (рис. 1)?

Иллюстрация к задаче № 1

Рис. 1. Иллюстрация к задаче № 1

Решение

Выходит, что первый автобус бывает на базе каждые два часа, а второй – каждые три. Тогда нам нужно найти число, которое бы нацело делилось на 2 и 3. И таким числом будет 6, меньше числа не найти.

Ответ: автобусы встретятся через 6 часов, в 4 часа дня.

Определение наименьшего общего кратного

Наименьшее общее кратное (НОК) двух целых чисел и есть наименьшее натуральное число, которое делится на и без остатка.

Выходит, в случае нашей задачи наименьшим общим кратным для 2 и 3 было число 6, записывается это так:

, , ,

Приемлема и такая запись: .

Свойства НОК

1. НОК чисел всегда не меньше, чем данные числа.

2. .

3. Если делится нацело на , то .

.

Пример №1 нахождение НОК

Дано: числа 10, 12

Найти:

Решение

Разложим числа на множители

;

Найдем общие сомножители первого и второго числа, для данного случая это 2. Теперь выпишем множители для десяти и добавим к ним те, которые не являются общими для данных чисел, выйдет:

. Это и есть НОК.

Ответ: .

Пример №2 нахождения НОК

Дано: 36, 48

Найти:

Решение

Ответ: .

Пример №3 нахождение НОК (для 3 чисел)

Дано: 6, 12, 15

Найти:

Решение

Ответ: .

(Обратите внимание: общие множители мы ищем попарно и нам не обязательно их наличие у всех трех чисел, например, два есть только у 6 и 12.)

Пример №4 нахождения НОК и НОД

Дано: 10, 12

Свойство НОК и НОД и пример его применения

Можно заметить, что в НОК не входит НОД чисел. Тогда выведем свойство: произведение любых двух натуральных чисел равно произведению их наибольшего общего делителя (НОД) и наименьшего общего кратного (НОК)