8 класс. Геометрия. Окружность. Вписанный угол. Центральный угол.
8 класс. Геометрия. Окружность. Вписанный угол. Центральный угол.
Комментарии преподавателя
Основные определения
Напомним определение окружности. Сейчас мы дадим определение с ошибкой, задача – найти эту ошибку.
Определение:
Окружностью с центром в точке О и радиусом R называют множество точек плоскости, удаленных от одной точки – центра окружности О – на расстояние R.
Очевидно, что ошибка – пропущенное важное слово всех, то есть окружность – множество всех точек, равноудаленных от ее центра.
Например, вершины A, B, C, D квадрата – это множество точек, равноудаленных от центра квадрата, но это не есть окружность (рис. 1).
Рис. 1. Квадрат
Вспомним важные элементы окружности:
Дуга ;
Угол – центральный угол;
Точка О – центр окружности.
Имеем дугу и соответствующий центральный угол (рис. 2).
Рис. 2. Элементы окружности
Понятие градусной меры дуги
Рассмотрим понятие градусной меры дуги.
Задана окружность с центром О. Дуга ALB не больше полуокружности; дуга AМB больше полуокружности.
Градусной мерой дуги ALB называется градусная мера соответствующего центрального угла – .
Для дуги, большей полуокружности, градусной мерой будет следующая разность:
(рис. 3).
Рис. 3. Градусная мера дуги
Две дуги и вместе составляют целую окружность, запишем это:
Таким образом, градусная мера окружности – это .
Решение примеров
Задана окружность с центром О, диаметром АВ, радиусом, перпендикулярным диаметру, ОС, радиусом ОМ, который составляет с ОС угол .
Дуга – пол-окружности;
Дуга – четверть окружности, угол прямой;
Дуга ;
Дуга состоит из двух дуг, ее градусная мера равна сумме градусных мер двух дуг: ;
Дуга больше полуокружности, значит, ее градусная мера – это разность: .
Рис. 4. Иллюстрация к примерам
Каждая дуга стягивается своей хордой, во многих задачах требуется найти длину этой хорды.
Пример:
Радиус окружности с центром О – 16 см. Найдите хорду АВ, если:
а)
б)
в)
Решение:
Итак, в случае а . Треугольник равнобедренный, стороны ОА и ОВ равны как радиусы окружности. Углы при основании равны и сумма их равна , значит, на каждый из углов приходится , таким образом, в треугольнике все углы составляют , а значит, этот треугольник равносторонний и сторона АВ равна также радиусу окружности, то есть 16 см (рис. 5).
Рис. 5. Иллюстрация к случаю а
В случае б центральный угол составляет . Рассмотрим прямоугольный равнобедренный треугольник и применим теорему Пифагора, чтобы найти его гипотенузу: . Нашли см (рис. 6).
Рис. 6. Иллюстрация к случаю б
В случае в , значит, в данном случае АВ является диаметром окружности. Мы знаем, что диаметр равен двум радиусам, радиус нам известен. Таким образом, см (рис. 7).
Рис. 7. Иллюстрация к случаю в
Выводы по уроку
Итак, мы узнали, что такое центральный угол, познакомились с понятием градусной меры дуги окружности. На следующем уроке мы изучим вписанный угол и теорему о нем.
ИСТОЧНИК
http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/okruzhnost/tsentralnyy-ugol-gradusnaya-mera-dugi-okruzhnosti
http://www.youtube.com/watch?v=0HoMsnCFqbw
http://www.youtube.com/watch?v=2vPPkguP4nc
http://www.youtube.com/watch?v=T72qIUHRSuw
http://www.youtube.com/watch?v=0iR0pmLSyp4
http://metodbook.ru/index.php/matematika/13-testy-po-geometrii-8-klass/112-test-po-geometrii-8-klass-tema-tsentralnye-i-vpisannye-ugly-variant-1.html
http://metodbook.ru/index.php/matematika/13-testy-po-geometrii-8-klass/113-test-po-geometrii-8-klass-tema-tsentralnye-i-vpisannye-ugly-variant-2.html
http://fullref.ru/files/113/234c276c16bb9bfb3a10b7eecae6d636.html_files/rId20.png