8 класс. Геометрия. Окружность. Вписанный угол. Центральный угол.
8 класс. Геометрия. Окружность. Вписанный угол. Центральный угол.
Комментарии преподавателя
Теорема о вписанном угле
1. Основные определения, определение вписанного угла
Напомним некоторые определения
Определение:
Окружностью с центром в точке О и радиусом R называют множество всех точек плоскости, удаленных от точки О на расстояние R (см. Рис. 1).
Рис. 1
Часть окружности 
называется дугой.
Дуга имеет угловое измерение.
Градусная мера дуги равна градусной мере соответствующего центрального угла 
:
Рассмотрим примеры:
Рис. 2
Определение
Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, называется вписанным.
Рис. 3
Задана окружность с центром О, вершина А лежит на окружности, стороны АВ и АС угла пересекают окружность в точках В и С, угол 
называется вписанным. Он опирается на дугу 
, эта дуга расположена внутри угла (см. Рис. 3).
2. Теорема о вписанном угле
Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается (см. Рис. 4).
Рис. 4
Доказательство:
Рассмотрим несколько случаев.
Случай 1: точка О принадлежит лучу АС (см. Рис. 5).
Рис. 5
Доказать, что 
Обозначим угол 
через 
, тогда угол 
также будет равен , так как треугольник 
равнобедренный, его стороны ОВ и ОА равны как радиусы окружности. Угол 
является внешним для треугольника , внешний угол равен сумме двух других углов, не смежных с ним, получаем: 
, то есть угловое измерение дуги есть 
. Таким образом, мы доказали, что вписанный угол равен половине измерения дуги, на которую он опирается.
Случай 2: точка О лежит внутри вписанного угла (см. Рис. 6).
Рис. 6
Доказать, что
Доказательство сводится к предыдущему случаю. Проведем диаметр AD, обозначим угол 
за 
и тогда дуга 
равна (объяснение см. случай 1). Угол 
за 
, тогда дуга 
равна 
(объяснение см. случай 1). Вся дуга равна:
Угол 
в свою очередь, равен 
.
Таким образом, мы доказали, что вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается.
Случай 3: точка О находится вне вписанного угла (см. Рис. 7).
Рис. 7
Доказать, что 
Доказательство снова сводится к первому случаю. Проведем диаметр AD, обозначим угол через , тогда дуга 
(объяснение см. случай 1). Угол 
обозначим через , тогда дуга равна (объяснение см. случай 1). Дуга является разностью большой дуги и дуги :
Вписанный угол равен 
. Таким образом, мы доказали, что вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается.
Итак, теорема полностью доказана, все случаи рассмотрены. И теперь из этого вытекают важные следствия.
3. Следствия теоремы о вписанном угле
Следствие 1:
Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны между собой (см. Рис. 8).
Рис. 8
Угол равен , он вписанный и опирается на дугу , значит, дуга равна . Но на эту же дугу опираются много других углов, например, углы 
и 
, данные углы измеряются половиной градусной меры дуги, значит, они равны , как и угол.
Таким образом, получаем:
Следствие 2
Вписанные углы, опирающиеся на диаметр, прямые (см. Рис. 9).
Рис. 9
Теорема о вписанном угле является ключом к доказательству многих других теорем и к решению многих задач.
4. Теорема о хордах
Произведение отрезков каждой из двух пересекающихся хорд есть величина постоянная.
Рис. 10
Доказать, что 
Доказательство:
Рассмотрим треугольники 
и 
(см. Рис. 10). Данные треугольники подобны по равенству двух углов: равны вертикальные углы 
и 
; вписанные углы и 
опираются на одну и ту же дугу . Выпишем соотношение подобия:
Применим свойство пропорции и преобразуем выражение:
, что и требовалось доказать.
5. Выводы по уроку
Итак, мы рассмотрели понятие вписанного угла и теорему о вписанном угле. В следующем уроке мы рассмотрим свойства биссектрисы угла и серединного перпендикуляра к отрезку.
ИСТОЧНИК
http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/okruzhnost/teorema-o-vpisannom-ugle
http://www.youtube.com/watch?v=v-udmw0gZIo
http://www.youtube.com/watch?v=0HoMsnCFqbw
http://www.youtube.com/watch?v=jdGg3_gYImQ
http://metodbook.ru/index.php/matematika/13-testy-po-geometrii-8-klass/112-test-po-geometrii-8-klass-tema-tsentralnye-i-vpisannye-ugly-variant-1.html
http://metodbook.ru/index.php/matematika/13-testy-po-geometrii-8-klass/113-test-po-geometrii-8-klass-tema-tsentralnye-i-vpisannye-ugly-variant-2.html
http://klassnoedelo.ru/upload/iblock/78d/78d9db552be4b537618cdef1c61fb4cd.jpg