8 класс. Геометрия. Окружность. Вписанная и описанная окружность.
8 класс. Геометрия. Окружность. Вписанная и описанная окружность.
Комментарии преподавателя
Теорема о пересечении высот треугольника
1. Свойства серединного перпендикуляра
Для данного урока нам полезно знать свойства серединного перпендикуляра к отрезку и свойство трех серединных перпендикуляров треугольника.
Задан треугольник 
. 
– серединный перпендикуляр к ВС,
– серединный перпендикуляр к АС,
– серединный перпендикуляр к АВ (см. Рис. 1).
Точка О равноудалена от вершин треугольника, 
Рис. 1
Переходим к рассмотрению центральной теоремы данного урока.
2. Теорема о пересечении высот треугольника
Три высоты треугольника пересекаются в одной точке, эта точка носит название ортоцентра (см. Рис. 2).
3. Ортоцентр остроугольного треугольника
Задан треугольник , 
, 
, 
.
Доказать, что 
Рис. 2
Доказательство:
Проведем через вершины треугольника прямые, параллельные их противоположным сторонам:
через вершину А – прямую 
,
через вершину В – прямую 
,
через вершину С – прямую 
.
Получили новый треугольник 
, рассмотрим его свойства (см. Рис. 3).
, значит, 
. Аналогично 
. Отсюда четырехугольник 
является параллелограммом.
Рис. 3
Противоположные стороны параллелограмма попарно равны, отсюда 
, 
.
Аналогично 
, 
по построению. Четырехугольник 
– параллелограмм. Отсюда 
, 
.
, , отсюда 
. Таким образом, точка А – середина отрезка 
, а значит, высота АА1 в маленьком треугольнике – это серединный перпендикуляр в большом треугольнике.
Аналогичные действия можно выполнить для вершин В и С. Получим, что В – середина отрезка 
, ВВ1 – серединный перпендикуляр к стороне большого треугольника; С – середина 
, СС1 – серединный перпендикуляр к стороне большого треугольника.
Мы знаем, что серединные перпендикуляры в большом треугольнике АА1, ВВ1, СС1 пересекутся в одной точке – в точке Н. Также мы знаем, что эти серединные перпендикуляры являются высотами маленького треугольника, таким образом, высоты треугольника
пересекаются в одной точке Н, что и требовалось доказать.
В треугольнике все медианы и биссектрисы принадлежат треугольнику, чего нельзя сказать о высотах. В остроугольном треугольнике каждая высота принадлежит треугольнику.
Задача
Треугольник остроугольный, АА1 – высота (см. Рис. 4). Доказать, что основание высоты А1 – это внутренняя точка отрезка ВС.
Дано: треугольник , , 
, 
, 
Доказать, что А1 – это внутренняя точка отрезка ВС
Рис. 4
Доказательство:
Докажем от противного: пусть АА2 – это высота, и точка А2 не является точкой отрезка ВС (см. Рис. 5).
Тогда угол 
– внешний угол для треугольника 
. Внешний угол равен сумме внутренних углов треугольника, несмежных с ним, то есть углов 
и 
, то есть сумме прямого угла и какого-то острого угла, а данная сумма будет больше 
, то есть угол будет тупой, что противоречит условию.
Рис. 5
Таким образом, основание высоты треугольника является внутренней точкой отрезка ВС.
Сделаем вывод: аналогичное доказательство можно выполнить для двух других высот остроугольного треугольника , отсюда все три высоты остроугольного треугольника лежат внутри треугольника, точка их пересечения – ортоцентр – находится внутри треугольника.
4. Ортоцентр тупоугольного треугольника
Рассмотрим тупоугольный треугольник и докажем, что его ортоцентр находится вне треугольника (см. Рис. 6).
Задан треугольник , 
тупой. АА1 – высота треугольника. Докажем, что точка В1 – основание высоты ВВ1 – не принадлежит отрезку АС.
От противного: пусть точка В1 принадлежит отрезку АС. Тогда треугольник 
не существует, т.к. сумма тупого угла 
и прямого угла 
больше 
. Таким образом, основание высоты ВВ1 расположено на продолжении отрезка АС.
Рис. 6
Аналогично можно выполнить доказательство для высоты СС1, получим, что ее основание также лежит на продолжении отрезка АВ. Таким образом, точка пересечения данного треугольника лежит вне треугольника.
Точка пересечения высот треугольника
5. Теорема о пересечении высот треугольника
Три высоты треугольника пересекаются в одной точке, эта точка носит название ортоцентра.
Задан треугольник 
, скажем для определенности, что он остроугольный (см. Рис. 1). Ничего не изменится, если мы возьмем тупоугольный треугольник.
, 
, 
.
Доказать, что 
Рис. 1
Доказательство:
Мы хотим свести доказательство к предыдущим уже доказанным теоремам, например, теореме о пересечении серединных перпендикуляров.
Для этого проведем через вершины треугольника прямые, параллельные их противоположным сторонам (см. Рис. 2):
через вершину А – прямую 
,
через вершину В – прямую 
,
через вершину С – прямую 
.
Рис. 2
Получили новый треугольник 
, рассмотрим его свойства.
, значит, 
. Аналогично 
. Отсюда четырехугольник 
является параллелограммом.
Противоположные стороны параллелограмма попарно равны, отсюда 
, 
.
Аналогично 
, 
по построению. Четырехугольник 
– параллелограмм. Отсюда 
, 
.
, , отсюда 
. Таким образом, точка А – середина отрезка 
, а значит, высота АА1 в маленьком треугольнике – это серединный перпендикуляр в большом треугольнике.
Аналогичные действия можно выполнить для вершин В и С. Получим, что В – середина отрезка 
, ВВ1 – серединный перпендикуляр к стороне большого треугольника; С – середина 
, СС1 – серединный перпендикуляр к стороне большого треугольника.
Мы знаем, что серединные перпендикуляры в большом треугольнике АА1, ВВ1, СС1 пересекутся в одной точке – в точке Н. Также мы знаем, что эти серединные перпендикуляры являются высотами маленького треугольника, таким образом, высоты треугольника
пересекаются в одной точке Н, что и требовалось доказать.
Мы доказали теорему о пересечении высот для остроугольного треугольника, самостоятельно вы можете доказать эту же теорему, если треугольник не является остроугольным. Например, если треугольник прямоугольный, ортоцентр совпадает с вершиной, угол при которой прямой, т.к. две из высот совпадают с катетами, а третья выходит из этой вершины (см. Рис. 3).
Рис. 3
Рассмотрим шуточную задачу, которая позволит вспомнить многие важные факты.
6. Решение задачи
Задача
Задана окружность с центром в точке О и диаметром АВ. Точка С вне окружности. Пользуясь только линейкой, опустить перпендикуляр на прямую АВ из точки С (см. Рис. 4).
Рис. 4
Решение:
Проведем прямую АС, получаем точку М пересечения проведенной прямой с окружностью.
Проведем прямую ВС, получаем точку N пересечения проведенной прямой с окружностью.
Проведем прямые AN и ВМ, получим их точку пересечения Н (см. Рис. 5).
Доказать, что 
.
Рис. 5
Доказательство:
Мы изучили теоремы о вписанных углах и следствия из них. Согласно одному из таких следствий, вписанный угол, опирающийся на диаметр, прямой, отсюда:
.
Напомним, что вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.
Итак, 
, отсюда ВМ – высота треугольника . Также
, AN – высота треугольника .
Две высоты треугольника пересекаются в точке Н, мы знаем, что все три высоты треугольника пересекаются в одной точке, значит, и третья высота пройдет через точку Н. отсюда СК – высота треугольника, СК⊥АВ, что и требовалось доказать.
7. Выводы по уроку
Итак, на данном уроке мы рассмотрели теорему о пересечении высот треугольника и решили шуточную задачу, в которой вспомнили некоторые важные геометрические факты.
ИСТОЧНИК
http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/okruzhnost/teorema-o-peresechenii-vysot-treugolnika
http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/okruzhnost/tochka-peresecheniya-vysot-treugolnika
http://www.youtube.com/watch?v=T9plOhIuxLI
http://www.youtube.com/watch?v=N17Mf2_lwsI
http://nsportal.ru/sites/default/files/2012/03/08/teorema_o_peresechenii_vysot.rar
http://v.5klass.net/zip/b0e55c84942e47c7877236b95f7e5926.zip
http://xn-----8kcagmhdbwcfthzc0aadtq7cdj.xn--p1ai/%D0%93%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%8F_8_%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D1%81%D1%81/%D0%92%D1%8B%D1%81%D0%BE%D1%82%D1%8B_%D1%82%D1%80%D0%B5%D1%83%D0%B3%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B8%D0%BA%D0%B0_%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B5%D1%81%D0%B5%D0%BA%D0%B0%D1%8E%D1%82%D1%81%D1%8F_%D0%B2_%D0%BE%D0%B4%D0%BD%D0%BE%D0%B9_%D1%82%D0%BE%D1%87%D0%BA%D0%B5