8 класс. Геометрия. Окружность. Вписанная и описанная окружность.
8 класс. Геометрия. Окружность. Вписанная и описанная окружность.
Комментарии преподавателя
Вписанная и описанная окружности
1. Теорема об окружности, вписанной в треугольник
Прежде всего, речь идет о вписанных и описанных окружностях относительно треугольника. Мы подготовлены к этой теме, так как изучили свойства биссектрис и серединных перпендикуляров треугольника.
В любой треугольник можно вписать окружность (см. Рис. 1).
Рис. 1
Доказательство:
Мы знаем, что все биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке – пусть в точке О. Проведем биссектрисы АО, ВО, СО. Точка их пересечения О равноудалена от сторон треугольника. Она равноудалена от сторон угла 
– АС и АВ, так как принадлежит биссектрисе этого угла. Аналогично она равноудалена от сторон углов 
и 
, таким образом, от трех сторон треугольника.
Опустим перпендикуляры из точки О на стороны треугольника – ОМ на сторону АС, OL – на ВС, ОК – на АВ. Эти перпендикуляры и будут расстояниями от точки О до сторон треугольника, и они равны:
.
Обозначим расстояние от точки О до сторон треугольника за r и рассмотрим окружность с центром в точке О и радиусом r.
Окружность касается прямой АВ, т.к. имеет с ней общую точку К, и радиус ОК, проведенный в эту точку, перпендикулярен прямой АВ. Аналогично окружность касается прямых АС и ВС. Таким образом, окружность касается всех тех сторон треугольника, значит, она вписана в треугольник.
Итак, три биссектрисы треугольника пересекаются в точке, являющейся центром вписанной окружности.
Рассмотрим еще одну теорему, она касается точки пересечения серединных перпендикуляров треугольника. Мы знаем, что они пересекаются в одной точке, и эта точка совпадает с центром описанной около треугольника окружности.
2. Теорема об окружности, описанной около треугольника
Около любого треугольника можно описать окружность.
Итак, задан треугольник 
. Проведем серединный перпендикуляр р1 к стороне треугольника ВС, р2 – к стороне АВ, р3 – к стороне АС (см. Рис. 2).
Согласно теореме о свойствах серединных перпендикуляров, точка, принадлежащая серединному перпендикуляру к отрезку, равноудалена от концов отрезка. Отсюда 
, т.к. точка Q принадлежит серединному перпендикуляру к отрезку АС. Аналогично 
и 
. Таким образом, точка Q равноудалена от вершин треугольника. Отсюда QA, QB, QC – радиусы
Рис. 2
окружности, описанной около треугольника . Обозначим радиус за R. Точка О пересечения серединных перпендикуляров – центр описанной окружности.
Рассмотрим окружность, вписанную в некий четырехугольник, и свойства этого четырехугольника (см. Рис. 3).
Вспомним свойства точки, лежащей на биссектрисе угла.
Задан угол 
, его биссектриса – AL, точка М лежит на биссектрисе.
Если точка М лежит на биссектрисе угла, то она равноудалена от сторон угла, то есть расстояния от точки М до АС и до ВС сторон угла равны.
Рис. 3
Расстояние от точки до прямой есть длина перпендикуляра. Проведем из точки М перпендикуляры МК к стороне АВ и МР к стороне АС.
Рассмотрим треугольники 
и 
. Это прямоугольные треугольники, и они равны, т.к. имеют общую гипотенузу АМ, а углы 
и 
равны, так как AL – биссектриса угла . Таким образом, прямоугольные треугольники равны по гипотенузе и острому углу, отсюда следует, что 
, что и требовалось доказать. Таким образом, точка на биссектрисе угла равноудалена от сторон этого угла.
Кроме того, катеты 
. Таким образом, отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки, равны.
Итак, вернемся к четырехугольнику. Первым действием нужно провести в нем биссектрисы.
Все биссектрисы четырехугольника пересекаются в одной точке – точке О, центре вписанной окружности.
Из точки О опускаем перпендикуляры к сторонам четырехугольника в точки K, L, M, N и определяем точки касания (см. Рис. 3).
Касательные, проведенные к окружности из одной точки, равны между собой, таким образом, из каждой вершины выходит пара равных касательных: 
, 
, 
, 
.
Рис. 3
Если в четырехугольник можно вписать окружность, то суммы его противоположных сторон равны. Это легко доказать:
; 
; 
; 
;
;
Раскроем скобки:
;
Таким образом, мы доказали простую, но важную теорему.
3. Теорема об окружности, вписанной в четырехугольник
Если в четырехугольник можно вписать окружность, то суммы его противоположных сторон равны.
Справедлива обратная теорема.
Если в четырехугольнике суммы противоположных сторон равны, то в него можно вписать окружность.
Рассмотрим окружность, описанную около четырехугольника.
Заданы окружность с центром О и произвольный четырехугольник ABCD. Рассмотрим свойства этого четырехугольника. Все четыре серединных перпендикуляра данного четырехугольника пересекаются в одной точке: эта точка – центр описанной окружности.
Доказать, что все четыре серединных перпендикуляра пересекаются в одной точке, было бы утомительно. Есть другой признак. Рассмотрим угол ےА, это вписанный угол окружности, он опирается на дугу 
и измеряется половиной градусной меры данной дуги (см. Рис. 4). Обозначим угол ےА за 
, тогда дуга 
. Аналогично обозначим противоположный угол ےС за 
, он вписан в окружность и опирается на дугу 
. Отсюда дуга 
.
Рис. 4
Дуги и составляют полную окружность. Отсюда:
, 
Поделим полученное выражение на два, получаем:
Итак, мы доказали прямую теорему.
Теорема
Если около четырехугольника описана окружность, сумма его противоположных углов составляет 
.
Это есть необходимый и достаточный признак, то есть справедлива обратная теорема.
img width=
4. Теорема об окружности, описанной около четырехугольника
Если сумма противоположных углов четырехугольника составляет , около этого четырехугольника можно описать окружность.
На основании данных теорем отметим, что вокруг параллелограмма нельзя описать окружность, так как его противоположные углы равны, и их сумма не равна (см. Рис. 5).
Рис. 5
Около параллелограмма можно было бы описать окружность, если бы его противоположные углы были равны по 90°, то есть если бы он был прямоугольником, таким образом, около прямоугольника можно описать окружность (см. Рис. 6).
Рис. 6
Около ромба также нельзя описать окружность, но можно вписать, так как все стороны ромба равны, и таким образом, суммы противоположных сторон ромба равны.
Кроме того, у ромба каждая диагональ является биссектрисой, точка пересечения биссектрис равноудалена от всех сторон ромба (см. Рис. 7).
Рис. 7
5. Выводы по уроку
Итак, мы доказали, что в любой треугольник можно вписать окружность, и центр этой окружности совпадает с точкой пересечения биссектрис треугольника. Мы также доказали, что около любого треугольника можно описать окружность, и ее центр совпадет с точкой пересечения серединных перпендикуляров. Кроме того, мы увидели, что в некоторые четырехугольники можно вписать окружность, и для этого нужно, чтобы суммы противоположных сторон четырехугольника были равны. Мы также показали, что около некоторых четырехугольников можно описать окружность, и необходимым и достаточным условием для этого является равенство суммы противоположных углов .
ИСТОЧНИК
http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/okruzhnost/vpisannaya-i-opisannaya-okruzhnosti
http://www.youtube.com/watch?v=kGgwyLfKvgI
http://www.youtube.com/watch?v=wxBuTX1osN8
http://www.youtube.com/watch?v=6QbpYXctDCM
http://metodbook.ru/index.php/matematika/13-testy-po-geometrii-8-klass/116-test-po-geometrii-8-klass-tema-vpisannye-i-opisannye-okruzhnosti-variant-1.html
http://metodbook.ru/index.php/matematika/13-testy-po-geometrii-8-klass/117-test-po-geometrii-8-klass-tema-vpisannye-i-opisannye-okruzhnosti-variant-2.html
http://auto.ur.ru/img/books_covers/1007081838.jpg