8 класс. Геометрия. Окружность. Вписанная и описанная окружность.

Комментарии преподавателя

По­вто­ре­ние темы «Окруж­ность». Ре­ше­ние задач

 1. Геометрическая конструкция «точка на окружности»

Рас­смот­рим важ­ную тео­ре­му о впи­сан­ном угле.

Опре­де­ле­ние

Угол, вер­ши­на ко­то­ро­го лежит на окруж­но­сти, а сто­ро­ны пе­ре­се­ка­ют окруж­ность, на­зы­ва­ет­ся впи­сан­ным.

Тео­ре­ма

Впи­сан­ный угол из­ме­ря­ет­ся по­ло­ви­ной дуги, на ко­то­рую он опи­ра­ет­ся (см. Рис. 1).

; 

Рис. 1

Важ­ные след­ствия из дан­ной тео­ре­мы:

След­ствие 1:

Впи­сан­ные углы, опи­ра­ю­щи­е­ся на одну и ту же дугу, равны между собой (см. Рис. 2).

Угол  равен , он впи­сан­ный и опи­ра­ет­ся на дугу , зна­чит, дуга равна . Но на эту же дугу опи­ра­ют­ся много дру­гих углов, на­при­мер, углы  и , дан­ные углы из­ме­ря­ют­ся по­ло­ви­ной гра­дус­ной меры дуги, зна­чит, они равны , как и угол.

Таким об­ра­зом, по­лу­ча­ем:

Рис. 2

След­ствие 2:

Впи­сан­ные углы, опи­ра­ю­щи­е­ся на диа­метр, пря­мые (см. Рис. 3).

Рис. 3

Из точки А на окруж­но­сти вы­хо­дят хорда и ка­са­тель­ная. ےМАВ – угол между ка­са­тель­ной и хор­дой. Дан­ный угол об­ла­да­ет важ­ным свой­ством.

Свой­ство

Угол ےМАВ между ка­са­тель­ной МА и хор­дой АВ из­ме­ря­ет­ся по­ло­ви­ной от­се­ка­е­мой дуги  (см. Рис. 4).

Обо­зна­чим угол ےМАВ за . У нас за­да­на ка­са­тель­ная к окруж­но­сти МА, ОА – ра­ди­ус, про­ве­ден­ный в точку ка­са­ния. От­сю­да ОА⊥МА. В таком слу­чае ےОАМ = 90°. От­сю­да угол .

Тре­уголь­ник  рав­но­бед­рен­ный, т.к. у него  как ра­ди­у­сы окруж­но­сти. От­сю­да ра­вен­ство углов при ос­но­ва­нии АВ: .

Сумма трех углов тре­уголь­ни­ка со­став­ля­ет 180°. От­сю­да най­дем угол ےАОВ:

Таким об­ра­зом, , что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать                                  

Рис. 4

След­ствие:

На дугу  опи­ра­ют­ся впи­сан­ные углы ےА1, ےА2 и т.д., они из­ме­ря­ют­ся по­ло­ви­ной гра­дус­ной меры дуги, на ко­то­рую они опи­ра­ют­ся, от­сю­да они все равны углу ےМАВ между ка­са­тель­ной и хор­дой.

Мы рас­смот­ре­ли свой­ства про­стой, но очень важ­ной гео­мет­ри­че­ской кон­струк­ции – точки на окруж­но­сти. Эта кон­струк­ция опи­сы­ва­ет­ся тео­ре­мой о впи­сан­ном угле и свой­ством угла между ка­са­тель­ной и хор­дой. И та, и дру­гая тео­ре­ма ши­ро­ко ис­поль­зу­ют­ся при ре­ше­нии раз­лич­ных задач.

 2. Геометрическая конструкция «точка вне окружности»

Рас­смот­рим сле­ду­ю­щую важ­ную гео­мет­ри­че­скую кон­струк­цию – окруж­ность и точка вне окруж­но­сти.

Тео­ре­ма

Про­из­ве­де­ние се­ку­щей на внеш­нюю ее часть есть ве­ли­чи­на по­сто­ян­ная, рав­ная квад­ра­ту ка­са­тель­ной (см. Рис. 5).

За­да­на окруж­ность с цен­тром О, точка М лежит вне окруж­но­сти. Ка­са­тель­ная МА, се­ку­щие МС (внеш­няя часть МВ) и ML (внеш­няя часть МК).

До­ка­зать: 

Рис. 5

До­ка­за­тель­ство:

Вы­бе­рем про­из­воль­ную се­ку­щую, на­при­мер, МС, и до­ка­жем тео­ре­му для нее, этого будет до­ста­точ­но. До­ка­за­тель­ство ос­но­ва­но на по­до­бии тре­уголь­ни­ков. . Они имеют общую вер­ши­ну М, угол ے вхо­дит в оба тре­уголь­ни­ка. Угол ےМАВ – угол между ка­са­тель­ной и хор­дой, пусть он равен , тогда любой угол, опи­ра­ю­щий­ся на ту же дугу – на дугу АВ, равен . От­сю­да угол . Зна­чит, тре­уголь­ни­ки по­доб­ны по двум углам. Оста­лось вы­пи­сать от­но­ше­ние по­до­бия:

Вос­поль­зу­ем­ся свой­ством про­пор­ции:

, что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

Сле­ду­ю­щее важ­ное свой­ство изу­ча­е­мой кон­струк­ции ка­са­ет­ся внеш­не­го угла (см. Рис. 6).

За­да­на окруж­ность, точка М лежит вне окруж­но­сти. Две се­ку­щие – МС и ML. Угол ےМ – внеш­ний угол. Он опи­ра­ет­ся на две дуги: дуга , пусть ее гра­дус­ная мера n°, тогда со­от­вет­ству­ю­щий цен­траль­ный угол ےВСК имеет гра­дус­ную меру ; дуга , пусть ее гра­дус­ная мера m°, угол .

До­ка­зать: 

Рис. 6

До­ка­за­тель­ство:

Рас­смот­рим тре­уголь­ник . В нем ; . Для тре­уголь­ни­ка  угол ےСКL – внеш­ний угол, зна­чит, он равен сумме двух углов тре­уголь­ни­ка, несмеж­ных с ним:

Вы­ра­зим угол ےМ:

Таким об­ра­зом, мы до­ка­за­ли, что внеш­ний угол тре­уголь­ни­ка из­ме­ря­ет­ся по­лу­раз­но­стью дуг, на ко­то­рые он опи­ра­ет­ся.

 3. Геометрическая конструкция «точка внутри окружности»

Еще одна гео­мет­ри­че­ская кон­струк­ция – точка внут­ри окруж­но­сти.

Тео­ре­ма

Про­из­ве­де­ние от­рез­ков каж­дой из двух пе­ре­се­ка­ю­щих­ся хорд есть ве­ли­чи­на по­сто­ян­ная для дан­ной точки (см. Рис. 7).

До­ка­зать, что 

До­ка­за­тель­ство:

Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки  и . Дан­ные тре­уголь­ни­ки по­доб­ны по ра­вен­ству двух углов: равны вер­ти­каль­ные углы  и ; впи­сан­ные углы  и  опи­ра­ют­ся на одну и ту же дугу . Вы­пи­шем со­от­но­ше­ние по­до­бия:

Рис. 7

При­ме­ним свой­ство про­пор­ции и пре­об­ра­зу­ем вы­ра­же­ние:

, что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

Сле­ду­ю­щее свой­ство ка­са­ет­ся внут­рен­не­го угла.

Свой­ство

Внут­рен­ний угол из­ме­ря­ет­ся по­лу­сум­мой дуг, на ко­то­рые он опи­ра­ет­ся (см. Рис. 8).

За­да­на окруж­ность с цен­тром О. Хорды АВ и CD, пе­ре­се­ка­ю­щи­е­ся в точке М. Внут­рен­ний угол ےАМD обо­зна­чим за .

До­ка­зать: 

Рис. 8

До­ка­за­тель­ство:

Рас­смот­рим тре­уголь­ник . В нем впи­сан­ный угол ےА опи­ра­ет­ся на дугу , ее гра­дус­ную меру мы обо­зна­чи­ли как , от­сю­да ; впи­сан­ный угол ےС опи­ра­ет­ся на дугу AD гра­дус­ной мерой , от­сю­да угол . Угол  – внеш­ний угол для дан­но­го тре­уголь­ни­ка, он равен сумме двух углов, несмеж­ных с ним:

 4. Решение задачи

Мы до­ка­за­ли, что внут­рен­ний угол из­ме­ря­ет­ся по­лу­сум­мой дуг, на ко­то­рые он опи­ра­ет­ся.

За­да­ча

Задан рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник, ,  . Найти ра­ди­ус опи­сан­ной окруж­но­сти.

Тре­уголь­ник  пол­но­стью задан, мы можем найти в нем любые эле­мен­ты, но за­да­но найти толь­ко ра­ди­ус опи­сан­ной окруж­но­сти.

Рис. 9

Ре­ше­ние:

Мы пом­ним, что центр опи­сан­ной окруж­но­сти лежит на пе­ре­се­че­нии се­ре­дин­ных пер­пен­ди­ку­ля­ров. АН – ме­ди­а­на, бис­сек­три­са и вы­со­та – пер­вый се­ре­дин­ный пер­пен­ди­ку­ляр. Се­ре­дин­ный пер­пен­ди­ку­ляр к АВ – ОМ, точка пе­ре­се­че­ния се­ре­дин­ных пер­пен­ди­ку­ля­ров – точка О – центр опи­сан­ной окруж­но­сти. Таким об­ра­зом, нужно найти рас­сто­я­ние от точки О до любой вер­ши­ны – на­при­мер, ОВ или ОА, это и будет ра­ди­ус опи­сан­ной окруж­но­сти.

По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра най­дем АН:

, , 

Рас­смот­рим тре­уголь­ник : в нем ОВ – ра­ди­ус опи­сан­ной окруж­но­сти, , . При­ме­ним тео­ре­му Пи­фа­го­ра:

Упро­стим со­став­лен­ное вы­ра­же­ние:

 5. Выводы по уроку

Итак, мы за­кон­чи­ли изу­че­ние темы «Окруж­ность» и по­вто­ри­ли все ос­нов­ные факты. 

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/okruzhnost/vzaimnoe-raspolozhenie-tochki-i-okruzhnosti-obobschenie-reshenie-zadach

http://www.youtube.com/watch?v=29f6Huhk_Kk

http://www.youtube.com/watch?v=WsitAY-d33E

http://www.youtube.com/watch?v=lX-rN8JTlYQ

https://www.youtube.com/watch?v=csQ-KHFrjDQ

http://metodbook.ru/index.php/matematika/13-testy-po-geometrii-8-klass/114-test-po-geometrii-8-klass-tema-chetyre-zamechatelnye-tochki-okruzhnosti-variant-1.html

http://metodbook.ru/index.php/matematika/13-testy-po-geometrii-8-klass/115-test-po-geometrii-8-klass-tema-chetyre-zamechatelnye-tochki-okruzhnosti-variant-2.html

http://metodbook.ru/index.php/matematika/13-testy-po-geometrii-8-klass/120-teoreticheskij-test-po-geometrii-8-klass-tema-okruzhnost.html

http://v.5klass.net/zip/b0e55c84942e47c7877236b95f7e5926.zip

http://rushkolnik.ru/tw_files2/urls_3/891/d-890061/890061_html_m5ff065f.jpg

http://cs1-48v4.vk-cdn.net/p24/3551abddfac0c8.mp3?extra=amJxaBk9gfTT0lPmsOEwb8Rn_T2twbNJH1OUazYT-T9cSSu4_1787ibMzOu6ytv1rZKrpdEq7XnWZN1f-bjAuKyWIFf7mzw

Файлы