6 класс. Математика. Основное свойство дроби

Комментарии преподавателя

 Пример № 1 Сравнение дробей с одинаковыми знаменателями

Рас­смот­рим дробь . У дан­ной дроби зна­ме­на­тель 5 – это зна­чит, что объ­ект раз­де­ли­ли на пять ча­стей. А чис­ли­тель 2 ука­зы­ва­ет на то, что взяли толь­ко две части (рис. 1).

Рис. 1. 

На­при­мер, опре­де­лим  от ста руб­лей:

 (руб.)

По­смот­рим на дробь . Эта дробь со­сто­ит из таких же долей, что и преды­ду­щая (), но берем мы их че­ты­ре (рис. 2).

Рис. 2. 

Вы­чис­лим  от ста руб­лей:

 (руб.)

Итак, и , и  со­сто­ят из ча­стей , толь­ко в пер­вом слу­чае мы взяли 2 таких части, а во вто­ром – 4, по­это­му , при­чем ровно в 2 раза.

Из двух дро­бей с оди­на­ко­вы­ми зна­ме­на­те­ля­ми, боль­шая та, у ко­то­рой чис­ли­тель боль­ше.

 Пример № 2 Увеличение числителя

На уроке ма­те­ма­ти­ки учи­тель на­пи­са­ла на доске дробь и спро­си­ла, что про­изой­дет, если чис­ли­тель уве­ли­чить в два раза (рис. 3). 

Рис. 3. Ил­лю­стра­ция к при­ме­ру (Ис­точ­ник) 

Ре­ше­ние

1. Умно­жим чис­ли­тель на два:

2. По ана­ло­гии с пер­вым при­ме­ром можно ска­зать, что дробь  в два раза боль­ше, чем . Объ­яс­не­ни­ем тому, по­слу­жит сле­ду­ю­щее утвер­жде­ние. Обе эти дроби со­сто­ят из оди­на­ко­вых ча­стей ( толь­ко в пер­вом слу­чае было пять ча­стей – чис­ли­тель пять, а во вто­ром в два раза боль­ше – чис­ли­тель де­сять.

 Задание № 1 Увеличение числителя

Уве­личь­те дроби в три раза: , , .

Ре­ше­ние

1. Чтобы уве­ли­чить дробь в несколь­ко раз, нужно чис­ли­тель умно­жить на это ко­ли­че­ство раз.

2. Умно­жим во­семь на три и по­лу­чим дробь:

3. Умно­жим чис­ли­тель по­след­ней дроби на три:

 Пример № 3 Уменьшение числителя

Умень­шим дробь  в два раза. Для этого раз­де­лим чис­ли­тель на два.

Про­ана­ли­зи­ру­ем дан­ную опе­ра­цию. После того как мы раз­де­ли­ли чис­ли­тель на два, сама дробь умень­ши­лась в два раза.

 Задание № 2 Уменьшение числителя

Умень­ши­те дроби в че­ты­ре раза: , , .

Ре­ше­ние

1. Чтобы умень­шить дробь в опре­де­лен­ное ко­ли­че­ство раз, необ­хо­ди­мо чис­ли­тель раз­де­лить на это ко­ли­че­ство. Сле­до­ва­тель­но, во­семь – чис­ли­тель пер­вой дроби – надо раз­де­лить на че­ты­ре.

2. Ана­ло­гич­но по­сту­па­ем и со вто­рой дро­бью.

3. Для ре­ше­ния раз­де­лим 100 на 4 и по­лу­чим новую дробь:

Сде­ла­ем вывод: если чис­ли­тель дроби уве­ли­чить в несколь­ко раз, то сама дробь уве­ли­чит­ся в это ко­ли­че­ство раз. Так, если чис­ли­тель дроби умень­шить в ка­кое-то ко­ли­че­ство раз, раз­де­лить на опре­де­лен­ное число, то сама дробь умень­шит­ся в это ко­ли­че­ство раз.

 Пример № 4 Сравнение дробей с одинаковыми числителями

Рас­смот­рим две дроби:  и . Какая боль­ше, а какая мень­ше? Най­дем  и  от 100 руб­лей.

 (руб.)

Те­перь можно срав­нить по­лу­чен­ные числа.

 

Так,  боль­ше, чем  в два раза.

Из двух дро­бей с оди­на­ко­вы­ми чис­ли­те­ля­ми боль­шая та, у ко­то­рой зна­ме­на­тель мень­ше.

 Пример № 5 Увеличение знаменателя

На уроке ма­те­ма­ти­ки учи­тель (рис. 4) на­пи­са­ла дробь и спро­си, что про­изой­дет, если зна­ме­на­тель уве­ли­чить в два раза. 

Рис. 4. Ил­лю­стра­ция к при­ме­ру (Ис­точ­ник) 

Ре­ше­ние

1. Умно­жим зна­ме­на­тель на два.

2. Про­ана­ли­зи­ру­ем. Так, новая дробь, в два раза мень­ше, чем ис­ход­ная, .

 Задание № 3 Увеличение знаменателя

Умень­шить дроби в три раза, из­ме­нив зна­ме­на­те­ли: , , .

Ре­ше­ние

1. Чтобы умень­шить дроби в три раза, необ­хо­ди­мо умно­жить их зна­ме­на­те­ли на три.

2. Умно­жим две­на­дцать на три.

3. Про­де­ла­ем такую же ма­те­ма­ти­че­скую опе­ра­цию и с по­след­ней дро­бью.

 Пример № 6 Уменьшение знаменателя

Умень­шим зна­ме­на­тель  в два раза.

Те­перь видим, что  в два раза мень­ше, чем .

 Задание № 4 Уменьшение знаменателя

Уве­личь дроби в че­ты­ре раза, из­ме­нив зна­ме­на­те­ли: , , .

Ре­ше­ние

1. Для уве­ли­че­ния дроби в че­ты­ре раза путем из­ме­не­ния зна­ме­на­те­ля необ­хо­ди­мо зна­ме­на­тель раз­де­лить на че­ты­ре:

2. Раз­де­лим на че­ты­ре зна­ме­на­тель вто­рой дроби:

3. Уве­ли­чим по­след­нюю дробь в че­ты­ре раза:

Таким об­ра­зом, умень­шая зна­ме­на­тель в неко­то­рое ко­ли­че­ство раз, мы уве­ли­чи­ва­ем саму дробь в это ко­ли­че­ство раз. Уве­ли­чи­ва­ясь в зна­ме­на­те­ле в несколь­ко раз, дробь умень­ша­ет­ся в это ко­ли­че­ство раз.

Об­ра­тим вни­ма­ние на то, что, ме­ня­ясь в чис­ли­те­ле, дробь ме­ня­ет­ся в ту же сто­ро­ну. Из­ме­ня­ясь в зна­ме­на­те­ле, дробь ме­ня­ет­ся в об­рат­ную сто­ро­ну.

 

 Пример № 7 Умножение и деление дроби на одно и то же число

Рас­смот­рим дробь . Умно­жим и чис­ли­тель, и зна­ме­на­тель на два.

Те­перь про­ана­ли­зи­ру­ем, как из­ме­ни­лась дробь. Уве­ли­чи­ва­ясь в чис­ли­те­ле в два раза, дробь долж­на уве­ли­чи­вать­ся в два раза, а уве­ли­че­ние зна­ме­на­те­ля в два раза долж­но при­во­дить к умень­ше­нию дроби в два раза. По­лу­ча­ет­ся, что дробь од­но­вре­мен­но уве­ли­чи­ва­ет­ся и умень­ша­ет­ся в два раза – это при­во­дит к тому, что дробь не ме­ня­ет­ся.

Про­ве­рим дан­ное утвер­жде­ние. Вы­чис­лим каж­дую дробь от 100 руб­лей.

 (руб.)

 (руб.)

Сле­до­ва­тель­но, две дроби равны:

Таким об­ра­зом, если од­но­вре­мен­но и чис­ли­тель, и зна­ме­на­тель умно­жить на одно и то же число, то дробь не из­ме­нит­ся.

1. Раз­де­лим чис­ли­тель и зна­ме­на­тель  на 2, 4, 8 и 16.

Од­но­вре­мен­ное де­ле­ние чис­ли­те­ля и зна­ме­на­те­ля на одно и то же число не из­ме­ня­ет дробь. Сле­до­ва­тель­но, все по­лу­чен­ные дроби равны друг другу.

 Выводы

Поды­то­жим по­лу­чен­ные зна­ния. 

1. Если чис­ли­тель дроби уве­ли­чить/умень­шить в несколь­ко раз, то сама дробь уве­ли­чит­ся/умень­шит­ся во столь­ко же раз со­от­вет­ствен­но:

 боль­ше в с раз, чем 

 мень­ше в с раз, чем  

2.  Если зна­ме­на­тель дроби уве­ли­чить/умень­шить в несколь­ко раз, то дробь умень­шит­ся/уве­ли­чит­ся во столь­ко же раз со­от­вет­ствен­но:

 мень­ше в с раз, чем 

 боль­ше в с раз, чем  

3. Если и чис­ли­тель, и зна­ме­на­тель дроби умно­жить или раз­де­лить на опре­де­лен­ное число, ко­то­рое не равно нулю, то дробь от этого не из­ме­нит­ся. Такие дроби на­зы­ва­ют эк­ви­ва­лент­ны­ми:

 Основное свойство дроби. Иллюстрирующий пример и формулировка

	Раз­де­лим круг на 4 рав­ные части и 3 из них за­кра­сим.
	Затем каж­дую чет­верть круга раз­де­лим еще на 2 рав­ные части По­лу­чен­ное ра­вен­ство можно за­пи­сать иначе:

Ос­нов­ное свой­ство дроби: если чис­ли­тель и зна­ме­на­тель дроби умно­жить или раз­де­лить на одно и то же на­ту­раль­ное число, то по­лу­чит­ся рав­ная ей дробь.

 Примеры применения основного свойства дроби

 

1.  По­че­му это так? По ос­нов­но­му свой­ству дроби. Если чис­ли­тель и зна­ме­на­тель дроби  умно­жить на 2, то по­лу­чим дробь .

2.   По­че­му это так? По ос­нов­но­му свой­ству дроби. Если чис­ли­тель и зна­ме­на­тель дроби  раз­де­лить на 3, то по­лу­чим дробь .

 = 2. По­че­му это так? Объ­яс­ним это ра­вен­ство и слева, и спра­ва. Если чис­ли­тель и зна­ме­на­тель дроби  раз­де­лить на 2, то по­лу­чим дробь  или про­сто 2. С дру­гой сто­ро­ны, если чис­ли­тель и зна­ме­на­тель дроби  умно­жить на 8, то по­лу­чим .

 Упражнение. Используя рисунки, объяснить, почему равны дроби

1.  -?

Рас­смот­рим круг. Раз­де­лим его на 5 рав­ных ча­стей и 3 из них за­кра­сим.	Каж­дую пятую часть круга раз­де­лим на 3 рав­ные части. Весь круг ока­жет­ся раз­де­лен­ным на 15 ча­стей, и 9 из них будут за­кра­ше­ны.

2.  - ?

Рас­смот­рим квад­рат. Раз­де­лим его на 4 рав­ные части и 3 из них за­кра­сим.	Каж­дую чет­вер­тую часть квад­ра­та раз­де­лим на 4 рав­ные части. Весь квад­рат ока­жет­ся раз­де­лен­ным на 16 ча­стей, и 12 из них будут за­кра­ше­ны.

 

 Упражнение. Умножьте числитель и знаменатель данных дробей на 5. Напишите соответствующие равенства

Умножь­те чис­ли­тель и зна­ме­на­тель каж­дой дроби на 5. На­пи­ши­те со­от­вет­ству­ю­щие ра­вен­ства.

 

	Чис­ли­тель и зна­ме­на­тель дроби  умно­жим на 5. По ос­нов­но­му свой­ству дроби дробь  и дробь  равны.
	Чис­ли­тель и зна­ме­на­тель дроби  умно­жим на 5. По ос­нов­но­му свой­ству дроби дробь  и дробь  равны.
	Чис­ли­тель и зна­ме­на­тель дроби  умно­жим на 5. По ос­нов­но­му свой­ству дроби дробь  и дробь  равны.

 

 Упражнение. Разделите числитель и знаменатель данных дробей на 3. Запишите соответствующие равенства

Раз­де­ли­те чис­ли­тель и зна­ме­на­тель каж­дой дроби на 3. На­пи­ши­те со­от­вет­ству­ю­щие ра­вен­ства.

 

	Чис­ли­тель и зна­ме­на­тель дроби  раз­де­лим на 3. По ос­нов­но­му свой­ству дроби дробь  и дробь  равны.
	Чис­ли­тель и зна­ме­на­тель дроби  раз­де­лим на 3. По ос­нов­но­му свой­ству дроби дробь  и дробь  равны.
	Чис­ли­тель и зна­ме­на­тель дроби  раз­де­лим на 3. По ос­нов­но­му свой­ству дроби дробь  и дробь  равны.

 

 Упражнение. Объясните, почему верны равенства

Объ­яс­ни­те, по­че­му верны ра­вен­ства: .

 

	Если чис­ли­тель и зна­ме­на­тель дроби  умно­жить на 2, то по ос­нов­но­му свой­ству дроби по­лу­чен­ная дробь  равна . По­че­му мы вы­пол­ни­ли умно­же­ние имен­но на 2? На что нужно умно­жить чис­ли­тель пер­вой дроби 4, чтобы по­лу­чить чис­ли­тель вто­рой дроби 8? Оче­вид­но, что это число 2.
	Если чис­ли­тель и зна­ме­на­тель дроби  раз­де­лить на 4, то по ос­нов­но­му свой­ству дроби по­лу­чен­ная дробь  равна . Как по­лу­чить число 4? Для этого срав­ним зна­ме­на­те­ли дро­бей. Как из числа 44 по­лу­чить число 11? (  Нужно 44 раз­де­лить на 4.

источник конспекта - http://interneturok.ru/ru/school/matematika/6-klass/slozhenie-i-vychitanie-drobej-s-raznymi-znamenatelyami/osnovnoe-svoystvo-drobi-slupko-m-v

источник конспекта - http://interneturok.ru/ru/school/matematika/6-klass/slozhenie-i-vychitanie-drobej-s-raznymi-znamenatelyami/osnovnoe-svoystvo-drobi-terentieva-i-g

источник видео -  http://www.youtube.com/watch?v=cLhnLpn8iUA

источник видео - http://www.youtube.com/watch?v=ZVPAbH-1EeI

источник видео - http://www.youtube.com/watch?v=FDeFluuuVXc

источник презентации - http://ppt4web.ru/algebra/osnovnoe-svojjstvo-drobi2.html

источник презентации - http://ppt4web.ru/matematika/osnovnoe-svojjstvo-drobi1.html

источник теста  - http://testedu.ru/test/matematika/6-klass/slozhenie-i-vyichitanie-drobej.html

Файлы