6 класс. Математика. Основное свойство дроби

Основное свойство дроби (повторение изученного в 5 классе)

НАЗАД ДАЛЬШЕ

Основное свойство дроби (повторение изученного в 5 классе)

Комментарии преподавателя

Пример № 1 Сравнение дробей с одинаковыми знаменателями

Рассмотрим дробь . У данной дроби знаменатель 5 – это значит, что объект разделили на пять частей. А числитель 2 указывает на то, что взяли только две части (рис. 1).

Рис. 1.

Например, определим от ста рублей:

(руб.)

Посмотрим на дробь . Эта дробь состоит из таких же долей, что и предыдущая (), но берем мы их четыре (рис. 2).

Рис. 2.

Вычислим от ста рублей:

(руб.)

Итак, и , и состоят из частей , только в первом случае мы взяли 2 таких части, а во втором – 4, поэтому , причем ровно в 2 раза.

Из двух дробей с одинаковыми знаменателями, большая та, у которой числитель больше.

Пример № 2 Увеличение числителя

На уроке математики учитель написала на доске дробь и спросила, что произойдет, если числитель увеличить в два раза (рис. 3).

Рис. 3. Иллюстрация к примеру (Источник)

Решение

1. Умножим числитель на два:

2. По аналогии с первым примером можно сказать, что дробь в два раза больше, чем . Объяснением тому, послужит следующее утверждение. Обе эти дроби состоят из одинаковых частей ( только в первом случае было пять частей – числитель пять, а во втором в два раза больше – числитель десять.

Задание № 1 Увеличение числителя

Увеличьте дроби в три раза: , , .

Решение

1. Чтобы увеличить дробь в несколько раз, нужно числитель умножить на это количество раз.

2. Умножим восемь на три и получим дробь:

3. Умножим числитель последней дроби на три:

Пример № 3 Уменьшение числителя

Уменьшим дробь в два раза. Для этого разделим числитель на два.

Проанализируем данную операцию. После того как мы разделили числитель на два, сама дробь уменьшилась в два раза.

Задание № 2 Уменьшение числителя

Уменьшите дроби в четыре раза: , , .

Решение

1. Чтобы уменьшить дробь в определенное количество раз, необходимо числитель разделить на это количество. Следовательно, восемь – числитель первой дроби – надо разделить на четыре.

2. Аналогично поступаем и со второй дробью.

3. Для решения разделим 100 на 4 и получим новую дробь:

Сделаем вывод: если числитель дроби увеличить в несколько раз, то сама дробь увеличится в это количество раз. Так, если числитель дроби уменьшить в какое-то количество раз, разделить на определенное число, то сама дробь уменьшится в это количество раз.

Пример № 4 Сравнение дробей с одинаковыми числителями

Рассмотрим две дроби: и . Какая больше, а какая меньше? Найдем и от 100 рублей.

(руб.)

Теперь можно сравнить полученные числа.

Так, больше, чем в два раза.

Из двух дробей с одинаковыми числителями большая та, у которой знаменатель меньше.

Пример № 5 Увеличение знаменателя

На уроке математики учитель (рис. 4) написала дробь и спроси, что произойдет, если знаменатель увеличить в два раза.

Рис. 4. Иллюстрация к примеру (Источник)

Решение

1. Умножим знаменатель на два.

2. Проанализируем. Так, новая дробь, в два раза меньше, чем исходная, .

Задание № 3 Увеличение знаменателя

Уменьшить дроби в три раза, изменив знаменатели: , , .

Решение

1. Чтобы уменьшить дроби в три раза, необходимо умножить их знаменатели на три.

2. Умножим двенадцать на три.

3. Проделаем такую же математическую операцию и с последней дробью.

Пример № 6 Уменьшение знаменателя

Уменьшим знаменатель в два раза.

Теперь видим, что в два раза меньше, чем .

Задание № 4 Уменьшение знаменателя

Увеличь дроби в четыре раза, изменив знаменатели: , , .

Решение

1. Для увеличения дроби в четыре раза путем изменения знаменателя необходимо знаменатель разделить на четыре:

2. Разделим на четыре знаменатель второй дроби:

3. Увеличим последнюю дробь в четыре раза:

Таким образом, уменьшая знаменатель в некоторое количество раз, мы увеличиваем саму дробь в это количество раз. Увеличиваясь в знаменателе в несколько раз, дробь уменьшается в это количество раз.

Обратим внимание на то, что, меняясь в числителе, дробь меняется в ту же сторону. Изменяясь в знаменателе, дробь меняется в обратную сторону.

Пример № 7 Умножение и деление дроби на одно и то же число

Рассмотрим дробь . Умножим и числитель, и знаменатель на два.

Теперь проанализируем, как изменилась дробь. Увеличиваясь в числителе в два раза, дробь должна увеличиваться в два раза, а увеличение знаменателя в два раза должно приводить к уменьшению дроби в два раза. Получается, что дробь одновременно увеличивается и уменьшается в два раза – это приводит к тому, что дробь не меняется.

Проверим данное утверждение. Вычислим каждую дробь от 100 рублей.

(руб.)

Следовательно, две дроби равны:

Таким образом, если одновременно и числитель, и знаменатель умножить на одно и то же число, то дробь не изменится.

1. Разделим числитель и знаменатель на 2, 4, 8 и 16.

Одновременное деление числителя и знаменателя на одно и то же число не изменяет дробь. Следовательно, все полученные дроби равны друг другу.

Выводы

Подытожим полученные знания.

1. Если числитель дроби увеличить/уменьшить в несколько раз, то сама дробь увеличится/уменьшится во столько же раз соответственно:

больше в с раз, чем

меньше в с раз, чем

2. Если знаменатель дроби увеличить/уменьшить в несколько раз, то дробь уменьшится/увеличится во столько же раз соответственно:

меньше в с раз, чем

больше в с раз, чем

3. Если и числитель, и знаменатель дроби умножить или разделить на определенное число, которое не равно нулю, то дробь от этого не изменится. Такие дроби называют эквивалентными:

Основное свойство дроби. Иллюстрирующий пример и формулировка

Разделим круг на 4 равные части и 3 из них закрасим.

Затем каждую четверть круга разделим еще на 2 равные части

Полученное равенство можно записать иначе:

Основное свойство дроби: если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится равная ей дробь.

Примеры применения основного свойства дроби

1. Почему это так? По основному свойству дроби. Если числитель и знаменатель дроби умножить на 2, то получим дробь .

2. Почему это так? По основному свойству дроби. Если числитель и знаменатель дроби разделить на 3, то получим дробь .

= 2. Почему это так? Объясним это равенство и слева, и справа. Если числитель и знаменатель дроби разделить на 2, то получим дробь или просто 2. С другой стороны, если числитель и знаменатель дроби умножить на 8, то получим .

Упражнение. Используя рисунки, объяснить, почему равны дроби

1. -?

Рассмотрим круг. Разделим его на 5 равных частей и 3 из них закрасим.

Каждую пятую часть круга разделим на 3 равные части. Весь круг окажется разделенным на 15 частей, и 9 из них будут закрашены.

2. - ?


Рассмотрим квадрат. Разделим его на 4 равные части и 3 из них закрасим.	Каждую четвертую часть квадрата разделим на 4 равные части. Весь квадрат окажется разделенным на 16 частей, и 12 из них будут закрашены.

Упражнение. Умножьте числитель и знаменатель данных дробей на 5. Напишите соответствующие равенства

Умножьте числитель и знаменатель каждой дроби на 5. Напишите соответствующие равенства.

Числитель и знаменатель дроби умножим на 5. По основному свойству дроби дробь и дробь равны.

Упражнение. Разделите числитель и знаменатель данных дробей на 3. Запишите соответствующие равенства

Разделите числитель и знаменатель каждой дроби на 3. Напишите соответствующие равенства.

Числитель и знаменатель дроби разделим на 3. По основному свойству дроби дробь и дробь равны.

Упражнение. Объясните, почему верны равенства

Объясните, почему верны равенства: .

Если числитель и знаменатель дроби умножить на 2, то по основному свойству дроби полученная дробь равна .

Почему мы выполнили умножение именно на 2?

На что нужно умножить числитель первой дроби 4, чтобы получить числитель второй дроби 8? Очевидно, что это число 2.

Если числитель и знаменатель дроби разделить на 4, то по основному свойству дроби полученная дробь равна .

Как получить число 4? Для этого сравним знаменатели дробей. Как из числа 44 получить число 11? (

Нужно 44 разделить на 4.

источник конспекта - http://interneturok.ru/ru/school/matematika/6-klass/slozhenie-i-vychitanie-drobej-s-raznymi-znamenatelyami/osnovnoe-svoystvo-drobi-slupko-m-v

источник конспекта - http://interneturok.ru/ru/school/matematika/6-klass/slozhenie-i-vychitanie-drobej-s-raznymi-znamenatelyami/osnovnoe-svoystvo-drobi-terentieva-i-g

источник видео - http://www.youtube.com/watch?v=cLhnLpn8iUA

источник видео - http://www.youtube.com/watch?v=ZVPAbH-1EeI

источник видео - http://www.youtube.com/watch?v=FDeFluuuVXc

источник презентации - http://ppt4web.ru/algebra/osnovnoe-svojjstvo-drobi2.html

источник презентации - http://ppt4web.ru/matematika/osnovnoe-svojjstvo-drobi1.html

источник теста - http://testedu.ru/test/matematika/6-klass/slozhenie-i-vyichitanie-drobej.html