8 класс. Геометрия. Векторы. Применение векторов к решению задач.

Комментарии преподавателя

Умно­же­ние век­то­ра на число. При­ме­не­ние век­то­ров к ре­ше­нию задач

 1. Правило умножения вектора на число

На преды­ду­щих уро­ках мы рас­смот­ре­ли по­ня­тие век­то­ра, ввели опре­де­ле­ния кол­ли­не­ар­ных, со­на­прав­лен­ных, про­ти­во­на­прав­лен­ных и рав­ных век­то­ров. На­учи­лись скла­ды­вать и вы­чи­тать век­то­ры, ввели за­ко­ны сло­же­ния. Те­перь нам нужно на­учить­ся умно­жать век­тор на число. Осо­бен­ность дан­ной опе­ра­ции со­сто­ит в том, что число – это про­сто чис­лен­ная ве­ли­чи­на, не име­ю­щая на­прав­ле­ния, а век­тор – это на­прав­лен­ный от­ре­зок, име­ю­щий чис­лен­ное из­ме­ре­ние и на­прав­ле­ние.

Рас­смот­рим такую си­ту­а­цию: по до­ро­ге едут два ав­то­мо­би­ля, ско­рость од­но­го – 30 км/ч, а вто­ро­го – 60 км/ч. Оче­вид­но, что ско­рость вто­ро­го ав­то­мо­би­ля в два раза боль­ше ско­ро­сти пер­во­го, и ско­рость вто­ро­го можно вы­ра­зить через ско­рость пер­во­го, умно­жив ско­рость пер­во­го на два.

Опре­де­ле­ние

Про­из­ве­де­ние нену­ле­во­го век­то­ра  на число k – такой век­тор , длина ко­то­ро­го равна , при­чем век­то­ры  и  со­на­прав­ле­ны при  и про­ти­во­на­прав­ле­ны при . Про­из­ве­де­ние ну­ле­во­го век­то­ра на любое число – это ну­ле­вой век­тор.

Пусть задан век­тор  (см. Рис. 1). Век­тор  – это век­тор, на­прав­лен­ный в ту же сто­ро­ну, но длина его в два раза боль­ше.

Век­тор  имеет длину, в два раза боль­шую, чем век­тор  и ему про­ти­во­на­прав­лен.

Рис. 1

 2. Законы умножения

За­ко­ны, ко­то­рым под­чи­ня­ет­ся опе­ра­ция умно­же­ния век­то­ра на число:

 – со­че­та­тель­ный закон;

 – пер­вый рас­пре­де­ли­тель­ный закон;

 – вто­рой рас­пре­де­ли­тель­ный закон.

 3. Решение задач

Ана­лиз дан­ных за­ко­нов по­ка­зы­ва­ет, что дей­ствия с век­то­ра­ми ана­ло­гич­ны дей­стви­ям с ал­геб­ра­и­че­ски­ми вы­ра­же­ни­я­ми.

При­мер 1 – упро­стить вы­ра­же­ние:

Рас­кро­ем скоб­ки:

При­ве­дем по­доб­ные:

При­мер 2: Дан от­ре­зок АВ (см. Рис. 2). Точка С – се­ре­ди­на от­рез­ка, точка О – про­из­воль­ная точка плос­ко­сти. , . До­ка­зать, что век­тор .

Ре­ше­ние:

1 спо­соб: при­ме­ним пра­ви­ло тре­уголь­ни­ка и вы­ра­зим век­тор  как сумму двух век­то­ров:

С дру­гой сто­ро­ны:  

По­лу­чи­ли си­сте­му двух урав­не­ний:

Рис. 2

Сло­жим урав­не­ния си­сте­мы:

, так как С – се­ре­ди­на АВ, зна­чит, мо­ду­ли дан­ных век­то­ров равны, но они про­ти­во­на­прав­ле­ны, зна­чит, их сумма – это ну­ле­вой век­тор.

По­лу­ча­ем:

По­де­лим обе части на два:

Что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

2 спо­соб:

Рас­кро­ем скоб­ки и при­ве­дем по­доб­ные:

При­мер 3: До­ка­зать, что сред­няя линия тра­пе­ции па­рал­лель­на ос­но­ва­ни­ям и равна их по­лу­сум­ме.

Мы знаем, что сред­няя линия тра­пе­ции со­еди­ня­ет се­ре­ди­ны ее бо­ко­вых сто­рон, кроме того, мы знаем, что ос­но­ва­ния тра­пе­ции па­рал­лель­ны.

Вос­поль­зу­ем­ся пра­ви­лом мно­го­уголь­ни­ка и вы­ра­зим век­тор  как сумму век­то­ров:

Рис. 3

С дру­гой сто­ро­ны, 

По­лу­ча­ем си­сте­му урав­не­ний:

Вы­пол­ним сло­же­ние урав­не­ний си­сте­мы, по­лу­ча­ем:

Век­то­ры  про­ти­во­по­лож­ны и дают в сумме ну­ле­вой век­тор, так как М – се­ре­ди­на АВ, то есть мо­ду­ли дан­ных век­то­ров равны, кроме того, оче­вид­но, что они про­ти­во­на­прав­ле­ны. Ана­ло­гич­но век­то­ры  дают в сумме ну­ле­вой век­тор. Таким об­ра­зом, по­лу­ча­ем:

По­де­лим обе части на два:

Таким об­ра­зом, мы до­ка­за­ли, что сред­няя линия равна по­лу­сум­ме ос­но­ва­ний. Кроме того, ра­вен­ство век­то­ра  сумме  го­во­рит о том, что пря­мая MN па­рал­лель­на ос­но­ва­ни­ям тра­пе­ции.

Итак, в дан­ном уроке мы изу­чи­ли опе­ра­цию умно­же­ния век­то­ра на число и сфор­му­ли­ро­ва­ли за­ко­ны умно­же­ния. Кроме того, мы на­учи­лись при­ме­нять факты о век­то­рах к ре­ше­нию раз­лич­ных задач.

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/vektory/umnozhenie-vektora-na-chislo-primenenie-vektorov-k-resheniyu-zadach

http://www.youtube.com/watch?v=a0ohdyq56vQ

http://www.youtube.com/watch?v=y6DYlMejQR0

http://www.youtube.com/watch?v=JQzv4c5ak-0

http://gdz-matem.ru/26-9.3-umnozhenie-vektora-na-chislo.-primenenie-vektorov-k-resheniyu-zadach..html

http://metodbook.ru/index.php/matematika/9-testy-po-geometrii-9-klass/6-test-po-geometrii-9-klass-tema-umnozhenie-vektora-na-chislo-primenenie-vektorov-k-resheniyu-zadach-variant-1.html

http://metodbook.ru/index.php/matematika/9-testy-po-geometrii-9-klass/7-test-po-geometrii-9-klass-tema-umnozhenie-vektora-na-chislo-primenenie-vektorov-k-resheniyu-zadach-variant-2.html

Файлы