5 класс. Математика. Действия с натуральными числами

Комментарии преподавателя

На этом уроке вы познакомитесь со сложением натуральных чисел и законами, которым оно подчиняется. Выясните, что, используя эти законы, гораздо удобнее складывать числа. А также решите несколько примеров.

Пример 1

Детям, ко­то­рые учат­ся чи­тать и пи­сать, дают такое за­да­ние: сло­жи­те два слога в одно слово: БАН и КА.

БАН + КА = БАНКА

Но ино­гда де­ла­ют и на­о­бо­рот: КА + БАН = КАБАН

Пример 2

Лена и Ваня на­ли­ва­ют воду в ведро. У Лены есть двух­лит­ро­вая банка с водой, а у Вани – трех­лит­ро­вая. Есть раз­ни­ца, в какой по­сле­до­ва­тель­но­сти они вы­льют воду? Нет. В любом слу­чае там ока­жет­ся оди­на­ко­вое ко­ли­че­ство воды (5 лит­ров).

В обоих при­ме­рах скла­ды­ва­ли две части. Но в пер­вом слу­чае по­ря­док был важен, и если мы пе­ре­став­ля­ли сла­га­е­мые ме­ста­ми, то ме­нял­ся ре­зуль­тат. Во вто­ром слу­чае по­ря­док был не важен, сла­га­е­мые можно было ме­нять ме­ста­ми.

Математическое сложение

Вы­чис­ли­те: .

Вы­чис­ли­те: .

То есть .

Все эти три за­пи­си озна­ча­ют одно и то же ко­ли­че­ство.

Вспо­ми­ная при­ме­ры со сло­га­ми и водой, при­хо­дим к пред­по­ло­же­нию, что ма­те­ма­ти­че­ское сло­же­ние по­хо­же на вто­рой при­мер с водой, где ме­нять ме­ста­ми сла­га­е­мые было можно.

Чтобы по­нять, что можно де­лать при сло­же­нии, а чего нель­зя, нужно вы­яс­нить, что это такое. Что зна­чит сло­жить 5 и 3? Это зна­чит, что надо сло­жить 5 еди­ниц и 3 еди­ни­цы. Можно пред­ста­вить их па­лоч­ка­ми (см. рис. 1).

Рис. 1. Пред­став­ле­ние сло­же­ния

Слово «сло­жить» зна­чит сло­жить в одну кучу. А потом по­счи­тать, сколь­ко там всего. По­лу­чит­ся во­семь (см. рис. 2).

Утверждение

Ко­ли­че­ство еди­ниц, па­ло­чек в боль­шой куче все­гда можно по­счи­тать. То есть любые две груп­пы па­ло­чек можно сло­жить в одну боль­шую. И там будет кон­крет­ное ко­ли­че­ство па­ло­чек.

На языке ма­те­ма­ти­ки это можно ска­зать сле­ду­ю­щим об­ра­зом: два любых на­ту­раль­ных числа  и  можно сло­жить. В ре­зуль­та­те по­лу­чит­ся новое на­ту­раль­ное число .

Числа  и  на­зы­ва­ют­ся сла­га­е­мы­ми. Число  на­зы­ва­ют сум­мой чисел  и . Саму за­пись  тоже на­зы­ва­ют сум­мой.

Переместительный закон сложения

Скла­ды­вая две груп­пы еди­ниц в одну боль­шую, можно по­сту­пить двумя спо­со­ба­ми:

1) к пер­вой груп­пе до­ба­вить вто­рую,

2) ко вто­рой до­ба­вить первую.

Неваж­но, в какой по­сле­до­ва­тель­но­сти это де­лать. Взять сна­ча­ла пять еди­ниц и к ним до­ба­вить три или на­о­бо­рот. То есть мы про­сто внут­ри боль­шой кучки по­ме­ня­ли ме­ста­ми несколь­ко эле­мен­тов. Но от этого их ко­ли­че­ство не из­ме­нит­ся. Ре­зуль­тат все­гда будет оди­на­ков. Еди­ниц, па­ло­чек в общей кучке все­гда будет одно и то же ко­ли­че­ство. В дан­ном слу­чае во­семь.

На языке ма­те­ма­ти­ки это можно ска­зать сле­ду­ю­щим об­ра­зом: от пе­ре­ста­нов­ки сла­га­е­мых сумма не из­ме­ня­ет­ся.

Так , по­то­му что и та, и дру­гая сумма равны 8.

С боль­ши­ми чис­ла­ми этот закон тоже ра­бо­та­ет: . Эти две суммы равны друг другу. Чтобы это по­нять, не нужно счи­тать. Мы знаем, что от пе­ре­ста­нов­ки сла­га­е­мых сумма не ме­ня­ет­ся.

Сочетательный закон сложения

Пусть те­перь у нас три числа (три груп­пы еди­ниц) и их нужно сло­жить. То есть сло­жить в одну кучу. Есть два ва­ри­ан­та:

1) до­ба­вить к пер­вой сна­ча­ла вто­рую, потом тре­тью,

2) до­ба­вить к пер­вой уже сло­жен­ные за­ра­нее вто­рую и тре­тью.

Нет ни­ка­кой раз­ни­цы. Мы все­гда будем по­лу­чать одно и то же мно­же­ство еди­ниц, па­ло­чек. Ни­от­ку­да новые не возь­мут­ся, и име­ю­щи­е­ся не по­те­ря­ют­ся.

Если за­пи­сать это с по­мо­щью чисел:

Если скла­ды­вать любые три числа , то можно сло­жить сна­ча­ла пер­вые два числа, а можно на­чать с по­след­них двух. По­сле­до­ва­тель­ность дей­ствий при сло­же­нии несколь­ких сла­га­е­мых не важна.

Эти за­ко­ны очень силь­но могут об­лег­чить вы­чис­ле­ния.

Пример

Мы можем скла­ды­вать в любой по­сле­до­ва­тель­но­сти. Вы­бе­рем такую по­сле­до­ва­тель­ность, чтобы было удоб­но. Смот­рим на по­след­ние цифры. Если они дают в сумме 10, то лучше по­про­бо­вать на­чать с них, их проще сло­жить. У вто­ро­го сла­га­е­мо­го в конце 6, а у тре­тье­го 4, в сумме они дают 10, по­это­му сло­жим сна­ча­ла их, а затем при­ба­вим пер­вое сла­га­е­мое.

Пример

Пер­вое и по­след­нее числа за­кан­чи­ва­ют­ся на пять, зна­чит, сумма будет за­кан­чи­вать­ся на ноль, это удоб­но. Но они стоят не под­ряд. По­ме­ня­ем ме­ста­ми 39 и 295.

Идея про­ста: если надо сло­жить сразу несколь­ко чисел, мы можем пе­ре­став­лять их, как хотим, и вы­пол­нять дей­ствия в любом по­ряд­ке.

Пример

Пер­вое число удоб­но сло­жить с по­след­ним, а вто­рое – с тре­тьим.

Пример

Пусть у нас несколь­ко ваз, в каж­дой ка­кое-то ко­ли­че­ство яблок. Нужно узнать, сколь­ко яблок всего. Не нужно ссы­пать все яб­ло­ки в одну кучу и пе­ре­счи­ты­вать их. Про­сто вы­пи­шем на бу­ма­гу, сколь­ко в каж­дой вазе яб­ло­ке, и сло­жим эти числа. На­при­мер, .

Если ка­кая-то ваза ока­жет­ся пу­стой, то мы на­пи­шем, что в ней ноль яблок, и общий под­счет будет вы­гля­деть так: .

Пу­стая ваза не вли­я­ет на общее ко­ли­че­ство яблок. То есть до­бав­ле­ния нуля не ме­ня­ет ис­ход­ное ко­ли­че­ство: .

Заключение

Под­ве­дем итог.

1)         

Любые два на­ту­раль­ных числа  и  можно сло­жить, в итоге будет тоже на­ту­раль­ное число . Числа  и  на­зы­ва­ют­ся сла­га­е­мы­ми, число  сум­мой.

2)         

От пе­ре­ста­нов­ки сла­га­е­мых сумма не из­ме­ня­ет­ся.

3)         

По­сле­до­ва­тель­ность дей­ствий при сум­ми­ро­ва­нии не важна.

4)         

При­бав­ле­ние нуля к числу не ме­ня­ет этого числа.

На уроке вы узнаете, какие бывают прямые и обратные действия в математике. Учитель расскажет обо всех компонентах вычитания, а также покажет два способа для вычитания суммы из числа.

 

В жизни мы все время стал­ки­ва­ем­ся с пря­мы­ми и про­ти­во­по­лож­ны­ми дей­стви­я­ми. Можно на­лить воду в круж­ку, можно вы­лить воду. Можно зайти в дом, потом выйти из дома. Таких при­ме­ров очень много.

В ма­те­ма­ти­ке мы тоже легко най­дем пару таких про­ти­во­по­лож­ных дей­ствий. Это сло­же­ние и вы­чи­та­ние.

Как устро­е­но сло­же­ние? До­ба­ви­ли к 3 яб­ло­кам 2 яб­ло­ка, по­лу­чи­ли 5 яблок, по­лу­чи­лось сло­же­ние (рис. 1).

Рис. 1. Ил­лю­стра­ция сло­же­ния

Вы­чи­та­ние: было 5 яблок, от­ня­ли 2, оста­лось 3. По­лу­чи­лось вы­чи­та­ние (рис. 2).

Рис. 2. Вы­чи­та­ние

Ясно, что до­ба­вить и от­нять – это про­ти­во­по­лож­ные дей­ствия, таким об­ра­зом, сло­же­ние и вы­чи­та­ние – это вза­и­мо­про­ти­во­по­лож­ные дей­ствия.

Вычитание

Чтобы вы­пол­нить сло­же­ние или вы­чи­та­ние, мы не берем себе в по­мощь пред­ме­ты и не скла­ды­ва­ем их в одну кучу. Мы ре­ша­ем такую за­да­чу от­вле­чен­но, ис­поль­зуя числа и про­ти­во­по­лож­ные опе­ра­ции.

На­при­мер, чтобы вы­честь 2 из 5, мы долж­ны по­нять, что оста­нет­ся.

А для этого нам нужно пред­ста­вить 5 как сумму двух ча­стей.

И мы по­ни­ма­ем, что если вы­честь 2, то оста­нет­ся 3.

Одно и то же ко­ли­че­ство можно пред­ста­вить и за­пи­сать раз­лич­ны­ми спо­со­ба­ми. Все эти спо­со­бы эк­ви­ва­лент­ны: . Мы все­гда можем поль­зо­вать­ся тем, ко­то­рый нам удо­бен в дан­ном слу­чае. Сей­час нам удоб­но пред­ста­вить, что 5 – это сумма 3 и 2. По­это­му если убрать, вы­честь одну часть (2), то оста­нет­ся вто­рая (3).

Как из 15 вы­честь 7?

Мы сразу пред­став­ля­ем, что . Зна­чит, после вы­чи­та­ния 7 оста­нет­ся 8.

Ста­но­вит­ся по­нят­но, что вы­чи­та­ние – это на­хож­де­ние неиз­вест­но­го числа раз­ло­же­ния.

Еще раз рас­смот­рим при­мер.  Чтобы вы­честь из числа 5 число 2, нужно пред­ста­вить 5 в виде двух сла­га­е­мых  и найти неиз­вест­ное сла­га­е­мое. Оно и будет ре­зуль­та­том вы­чи­та­ния .

Определение вычитания

Если из числа  нужно вы­честь число :

Зна­чит, что число  нужно пред­ста­вить в виде двух сла­га­е­мых  и .

Одно сла­га­е­мое нам неиз­вест­но. Его и надо найти. Оно и есть ре­зуль­тат вы­чи­та­ния.

По­нят­но, что взять из вазы боль­ше яблок, чем там было, невоз­мож­но. По­это­му, когда мы го­во­рим о вы­чи­та­нии на­ту­раль­ных чисел, мы не можем из мень­ше­го числа вы­честь боль­шее. Потом будут и дру­гие числа, не толь­ко на­ту­раль­ные, и вы­чи­та­ние из мень­ше­го числа боль­ше­го ста­нет воз­мож­ным.

Или еще вот такое рас­суж­де­ние: вы­честь – зна­чит пред­ста­вить в виде двух сла­га­е­мых, но ведь сла­га­е­мые, части не могут быть боль­ше це­ло­го.

Но пока до­го­во­рен­ность сле­ду­ю­щая: из числа  вы­чи­та­ем число , толь­ко если  не мень­ше, чем . Ре­зуль­та­том будет новое число .

• Число , от ко­то­ро­го мы будем от­ни­мать, ко­то­рое мы будем умень­шать, на­зы­ва­ют «умень­ша­е­мое».

• Число , ко­ли­че­ство, ко­то­рое мы будем от­ни­мать, вы­чи­тать, на­зы­ва­ет­ся «вы­чи­та­е­мое».

• Число , ре­зуль­тат вы­чи­та­ния, на­зы­ва­ет­ся раз­но­стью.

• Сама за­пись  тоже на­зы­ва­ет­ся раз­но­стью (рис. 3).

Рис. 3. На­зва­ния ком­по­нен­тов при вы­чи­та­нии

Слово «раз­ность» очень по­хо­же на слово «раз­ни­ца». В самом деле, ка­ко­ва раз­ни­ца, на сколь­ко от­ли­ча­ет­ся число 15 от числа 7, 15 яблок от 7 яблок? На 8 яблок. То есть, раз­ность чисел 15 и 7 – это и есть раз­ни­ца между ними.

Таким об­ра­зом, с одной сто­ро­ны раз­ность – это ре­зуль­тат вы­чи­та­ния из боль­ше­го числа мень­ше­го. С дру­гой сто­ро­ны – это то, на сколь­ко одно число от­ли­ча­ет­ся от дру­го­го, раз­ни­ца между ними.

Задача

Папе 36 лет, а маме на 2 года мень­ше. Сколь­ко маме лет?

Из 36 вы­чи­та­ем 2.

Это пер­вый тип задач, ко­то­рые мы ре­ша­ем при по­мо­щи вы­чи­та­ния: из­вест­но одно число, нужно найти вто­рое, ко­то­рое мень­ше на из­вест­ную ве­ли­чи­ну. То есть нам сразу из­вест­ны умень­ша­е­мое и вы­чи­та­е­мое, числа  и .

Задача

В клас­се учит­ся 25 че­ло­век, из них 14 де­во­чек. Сколь­ко в клас­се маль­чи­ков?

По­нят­но, что де­во­чек и маль­чи­ков всего 25 че­ло­век. Де­во­чек 14, маль­чи­ков – неиз­вест­ное ко­ли­че­ство.

Нужно найти неиз­вест­ное сла­га­е­мое. А поиск неиз­вест­но­го сла­га­е­мо­го – это уже за­да­ча на вы­чи­та­ние. Из 25 нужно от­нять 14.

В клас­се 11 маль­чи­ков.

Это вто­рой тип задач, когда скла­ды­ва­ют два числа, одно из них из­вест­но, а дру­гое нет. Но зато из­ве­стен ре­зуль­тат, сумма.

Синим цве­том вы­де­ле­ны из­вест­ные  и . Необ­хо­ди­мо найти неиз­вест­ное сла­га­е­мое . Но поиск неиз­вест­но­го сла­га­е­мо­го – это и есть вы­чи­та­ние.

Задача

Сест­ре 12 лет, а брату 9. На сколь­ко лет сест­ра стар­ше брата?

Нужно узнать раз­ни­цу, а зна­чит нужно вы­чи­тать. Итак, вы­чи­та­ем из 12 число 9.

Сест­ра стар­ше брата на 3 года.

Это тре­тий тип задач – за­да­чи на срав­не­ние.

Задача

В вазе было 17 яблок. Петя взял 4 яб­ло­ка, Маша взяла 3. Сколь­ко оста­лось яблок в вазе?

Ре­ше­ние

1 спо­соб

Петя взял 4, Маша – 3, всего они взяли  яблок. Чтобы найти, сколь­ко оста­лось, вы­чи­та­ем:

Если за­пи­сать в одну строч­ку:

2 спо­соб

По­счи­та­ем, сколь­ко оста­ва­лось яблок каж­дый раз, когда Петя и Маша брали яб­ло­ки. Петя взял 4, оста­лось . Маша взяла еще 3, оста­лось .

Или, в одну строч­ку, .

В вазе оста­лось 10 яблок.

Оба спо­со­ба рав­но­силь­ны, ответ оди­на­ко­вый. То есть вы­честь сумму – это все равно, что вы­честь каж­дое сла­га­е­мое этой суммы по от­дель­но­сти.

Правило вычитания

Если необ­хо­ди­мо вы­честь сумму, то можно сна­ча­ла вы­чис­лить сумму в скоб­ках, после этого про­из­ве­сти вы­чи­та­ние. Либо можно вы­честь каж­дое сла­га­е­мое по от­дель­но­сти:

Пример

 

1 спо­соб

Можно сде­лать сна­ча­ла дей­ствия в скоб­ках и потом из 79 вы­честь ре­зуль­тат.

 

2 спо­соб

Мы видим, что 79 и 19 окан­чи­ва­ют­ся на одну цифру, на 9. Зна­чит, удоб­нее вы­честь из 79 пер­вое число,19, а затем вто­рое число 24.

 

Правило

Вы­чи­та­ние и сло­же­ние – рав­но­прав­ные дей­ствия.

Пусть есть ваза с яб­ло­ка­ми. Мама туда до­ба­ви­ла 3 яб­ло­ка, а папа взял 4. Из­ме­нит­ся ли ито­го­вое ко­ли­че­ство яблок, если они сде­ла­ют это в дру­гой по­сле­до­ва­тель­но­сти – сна­ча­ла папа возь­мет 4, а потом мама до­ба­вит 3?

Нет, ко­неч­но, ре­зуль­тат будет оди­на­ков. То есть если к числу что-то при­бав­ля­ет­ся и вы­чи­та­ет­ся, то эти дей­ствия можно ме­нять ме­ста­ми. Глав­ное – пом­нить, что мы не можем от мень­ше­го от­нять боль­шее.

Пример

 

Здесь удоб­но сна­ча­ла из 79 вы­честь 19. Для этого ме­ня­ем ме­ста­ми дей­ствия сло­же­ния и вы­чи­та­ния.

 

Имеет ли смысл пе­ре­став­лять ме­ста­ми сла­га­е­мые? Нет. 

(14 +36) – (25 + 25) = 50 – 50 = 0  

3.      414 – (93 +114) =

 

Здесь явно удоб­нее вы­честь тре­тье сла­га­е­мое из пер­во­го.

 

414 – (93 +114) = 414 – (114 + 93) = 414 – 114 – 93 = 300 – 93 = 207

Источник конспекта: http://interneturok.ru/ru/school/matematika/5-klass/bslozhenie-i-vychitanie-naturalnyh-chiselb/slozhenie-naturalnyh-chisel-i-ego-svoystva?konspekt&chapter_id=768

http://interneturok.ru/ru/school/matematika/5-klass/bslozhenie-i-vychitanie-naturalnyh-chiselb/vychitanie?konspekt&chapter_id=768

Источник теста:https://www.youtube.com/watch?v=c2D2l8dqtng

https://www.youtube.com/watch?v=9FM9NarGNWw

Источник видео: http://www.youtube.com/watch?v=fYgpLuMdOW0

Файлы