7 класс. Геометрия. Начальные геометрические сведения. Прямая, отрезок, луч, угол.

Сравнение отрезков и углов.

НАЗАД ДАЛЬШЕ

Сравнение отрезков и углов.

Комментарии преподавателя

Введение

В реальной жизни мы умеем сравнивать количества. Например, мы понимаем, что 7 больше, чем 5. Семь яблок – это больше, чем 5 яблок.

И понимаем важный принцип: часть меньше целого. Но наша задача – сравнение отрезков, углов, геометрических фигур. Где же в геометрических фигурах часть, а где целое?

Равенство геометрических фигур

Начнем с важного определения равенства геометрических фигур, ведь отрезок, угол – это геометрическая фигура.

Фигура 1 равна фигуре 2, если их можно совместить наложением: .

Например, два листа бумаги можно наложить друг на друга, и они неразличимы. Две одинаковые монеты и т.д.

Сравнение отрезков

Отрезок – это часть прямой. Давайте попробуем совместить отрезки и .

При совмещении возможно 3 случая.

- Точка совместилась с точкой , и вторые концы и тоже совместились. Тогда отрезок и совместились, и в этом случае - То есть если совместились концы отрезков, то совместились и сами отрезки (см. рис. 1).

Рис. 1. Совмещение отрезков и , случай 1

- – часть отрезка , значит, (см. рис. 2).

Рис. 2. Совмещение отрезков и , случай 2

- Отрезок – это часть отрезка , значит, (см. рис. 3).

Рис. 3. Совмещение отрезков и , случай 3

Сравнивать способом наложения не всегда удобно, ведь отрезки могут быть очень длинными либо же очень малыми, тогда сравнение неудобно. На помощь приходит сравнение их длин.

Длина отрезка

Каждому отрезку соответствует его длина. Длина – положительное число, являющееся результатом сравнения с эталоном. Например, с помощью линейки можно установить, какая длина у данного отрезка, сколько он составляет миллиметров, сколько сантиметров и т.д. При этом мы считаем, что каждой длине найдется свой отрезок. И еще раз подчеркнем, что если совместились концы отрезков, то совместились и сами отрезки.

Итак, наложение мы заменяем сравнением длин. Это наглядно видно на координатном луче.

Есть координатный луч (см. рис. 4). Каждой точке соответствует число, координата – расстояние до нуля.

Рис. 4. Координатный луч

Дана точка с координатой 0, точка с координатой 5 и точка с координатой 7.

Наложение здесь не требуется, мы сравниваем длины. И замечаем, что отрезок .

Если равны длины отрезков, то равны и отрезки. И наоборот, если равны отрезки, то равны и их длины.

Середина отрезка

Напомним важное понятие – середина отрезка.

Дан отрезок , точка – середина отрезка, если она делит его пополам. Т.е. (см. рис. 5).

Рис. 5. – середина отрезка

Сравнение углов

Рассмотрим совмещение углов.

Угол , угол . Возможны три случая:

- два угла полностью совместились. Т.е. точки и совместились, луч пошел по лучу , а пошел по лучу . Если есть такое совмещение, значит, . Фигуры при наложении совместились, значит, они равны по определению (см. рис. 6).

Рис. 6. Совмещение углов: , , случай 1

- угол меньше, чем угол . Это часть большего угла, значит, угол (см. рис. 7).

Рис. 7. Совмещение углов: , , случай 2

- Угол больше, чем угол . Второй угол является частью первого. Значит, угол (см. рис. 8).

Рис. 8. Совмещение углов: , , случай 3

Рассмотрим частый случай. Один из углов – развернутый, а второй угол . Неразвернутый угол всегда меньше развернутого. (см. рис. 9).

Рис. 9. Сравнение развернутого и неразвернутого углов

Биссектриса угла

Рассмотрим понятие биссектрисы угла. Есть угол . Проведем луч таким образом, чтобы полученные углы оказались равными, т.е. . В случае луч – биссектриса (см. рис. 10).

Рис. 10. Биссектриса угла

Биссектрисой угла называется луч, исходящий из вершины, который делит угол пополам.

Обзор некоторых аксиом

В геометрии даже самые понятные действия регламентированы аксиомами. Полный список аксиом мы, следуя учебнику, здесь не приводим, но результаты используем.

Например:

1. На луче можно отложить единственный отрезок, равный данному отрезку , от точки . Совместим точки и , на отрезке поставим точку , с которой совместим точку . Тогда (см. рис. 11).

Рис. 11. Иллюстрация к примеру

2. Есть луч и заданный угол , от луча в верхней полуплоскости можно отложить единственный угол, равный заданному (см. рис. 12).

Рис. 12. Иллюстрация к примеру

3. Прямая рассекает плоскость на две полуплоскости, обладающими важными свойствами:

- если две точки находятся в разных полуплоскостях, то прямая имеет общую точку с прямой , единственную точку , которая принадлежит и прямой , и прямой : . Причем точка находится между точками и , значит, (см. рис. 13).

Рис. 13. Иллюстрация к примеру

- если две точки находятся в одной полуплоскости, то отрезок не имеет общей точки с прямой (см. рис. 14).

Рис. 14. Иллюстрация к примеру

Формулировку аксиом мы, следуя учебникам, приводим, если они нужны в процессе доказательства. Еще раз подчеркнем: фундаментом геометрии являются: во-первых, неопределимые понятия, такие как точка, прямая; во-вторых, аксиомы (то есть истины), которые не требуют доказательств. Именно аксиомы описывают свойства точек, прямых и их взаимное расположение. Все остальное доказывается. Рекомендуем заглянуть в конец учебника, прочесть список всех аксиом и убедиться, что в геометрии бывает не только та геометрия, которую мы будем изучать, она называется Евклидова, но и геометрия Лобачевского. Все это вы найдете, заглянув в конец учебника.

Перейдем к задачам по теме.