7 класс. Геометрия. Начальные геометрические сведения. Прямая, отрезок, луч, угол.

Комментарии преподавателя

 Повторение материала: что такое угол, что такое градус

Из ма­те­ри­а­ла преды­ду­щих уро­ков мы знаем, что угол – это два луча, вы­хо­дя­щие из этой точки. На ри­сун­ке 1 изоб­ра­жен угол∠АОВ или , на­зван­ный в честь лучей, ко­то­рые из этой точки вы­хо­дят.

                                                         

Рис. 1. Угол  АОВ

Любой нераз­вер­ну­тый угол имеет внеш­нюю и внут­рен­нюю об­ла­сти. К при­ме­ру, точка М при­над­ле­жит внут­рен­ней об­ла­сти ∠АОВ.

На преды­ду­щих уро­ках мы вы­яс­ни­ли, что рав­ны­ми фи­гу­ра­ми на­зы­ва­ют­ся те, ко­то­рые можно сов­ме­стить на­ло­же­ни­ем. Мы уже умеем срав­ни­вать от­рез­ки. В дан­ный мо­мент мы будем учить­ся срав­ни­вать углы.

Мы рас­смот­ре­ли, что в слу­чае, когда один угол яв­ля­ет­ся ча­стью дру­го­го угла,  дан­ные углы не равны. На ри­сун­ке 2 ука­за­но это со­от­но­ше­ние.

                                                          

Рис. 2. Из­ме­ре­ние углов

Од­на­ко на­сколь­ко угол ∠СОА боль­ше угла ∠ВОС? В этом слу­чае нам необ­хо­ди­мо вве­сти эта­лон­ный угол и еди­ни­цы из­ме­ре­ния. Рас­смот­рим ри­су­нок 3.

 

                           

Рис. 3. Угол ∠АОВ – раз­вер­ну­тый

В гео­мет­рии при­ня­ли раз­вер­ну­тый угол за 180о гра­ду­сов. Это зна­чит, если по­де­лить раз­вер­ну­тый угол на 180 ча­стей, то гра­дус­ная мера одной части будет равна 1о. Таким об­ра­зом, боль­ший угол имеет боль­шую гра­дус­ную меру. Также можно вы­ве­сти пра­ви­ло суммы гра­дус­ных мер. К при­ме­ру, нам необ­хо­ди­мо вы­чис­лить гра­дус­ную меру угла ∠АОВ, а меры углов ∠ВОС и ∠СОА нам из­вест­ны (см. рис. 2). В таком слу­чае, ∠АОВ = ∠ВОС + ∠СОА. Гра­дус­ную меру угла можно вы­чис­лить, к при­ме­ру, транс­пор­ти­ром. На ри­сун­ке 4 ука­за­ны углы, гра­дус­ные меры ко­то­рых равны 150о и  45о.

         

Рис. 4. Углы с ука­зан­ны­ми гра­дус­ны­ми ме­ра­ми

Нема­ло­важ­но уяс­нить, что углы могут из­ме­рять­ся в ми­ну­тах и се­кун­дах. В одном гра­ду­се 60 минут: 1о = 60'. В одной ми­ну­те ше­сть­де­сят се­кунд 1' = 60``.

 Прямой, тупой и острый углы

В за­ви­си­мо­сти от ве­ли­чи­ны гра­дус­ной меры, раз­ли­ча­ют ост­рые, тупые и пря­мые углы.

   

Рис. 5. Ост­рый, пря­мой и тупой углы

Пря­мой ∠АОВ = 90о

Ост­рый 0 < ∠АОВ < 90o

Тупой 90o < ∠АОВ < 180o

Если гра­дус­ная мера угла равна 90 гра­ду­сов, то дан­ный угол – пря­мой. В слу­чае, если мера угла мень­ше 900, угол ост­рый, а если боль­ше – тупой.

 Решение задач

Рас­смот­рим несколь­ко задач, чтобы за­кре­пить прой­ден­ный ма­те­ри­ал.

При­мер 1:

На ри­сун­ке изоб­ра­жен угол ∠АОВ, ко­то­рый де­лит­ся точ­кой Е на два угла. Най­ди­те гра­дус­ную меру дан­но­го угла, если ∠АОЕ = 44о, ∠ВОЕ = 77о.

Рас­смот­ри­те слу­чай, когда ∠АОЕ = 12о37/, ∠ВОЕ = 108о25/

Ре­ше­ние:

Вы­пол­ним по­яс­ни­тель­ный ри­су­нок к за­да­че:

                                                            

Рис. 6. Ри­су­нок к при­ме­ру 1

По пра­ви­лу суммы гра­дус­ных мер углов, ∠АОВ = ∠ВОЕ + ∠ЕОА. Со­от­вет­ствен­но, под­ста­вим дан­ные в усло­вии зна­че­ния и вы­пол­ним под­счет.

1. ∠АОВ = ∠ВОЕ + ∠ЕОА = 44о + 77о = 121о.

2. ∠АОВ =∠ВОЕ + ∠ЕОА = 12о37/ + 108о25/ = 121о02/.

Ответ: 121о, 121о02/.

При­мер 2:

На ри­сун­ке изоб­ра­жен угол ∠АОВ. Гра­дус­ная мера дан­но­го угла со­став­ля­ет 78о. Луч ОС делит дан­ный угол на 2 угла. Най­ди­те гра­дус­ную меру угла ∠ВОС, если угол ∠СОА на 18о мень­ше угла ∠ВОС.                         

                                              

Рис. 7. Ри­су­нок к при­ме­ру 2

Ре­ше­ние:

Пусть гра­дус­ная мера угла ∠ВОС равна хо, тогда мера угла ∠СОА равна (х-18)о. По­сколь­ку их сумма будет равна 78о (по усло­вию), со­ста­вим и решим урав­не­ние:

Х + (х – 18) = 78

2х – 18 = 78

2х = 96

х = 48

Ответ: ∠ВОС = 48о.

При­мер 3:

Луч ОВ делит угол ∠АОС, гра­дус­ная мера ко­то­ро­го со­став­ля­ет 108о, на 2 части. Най­ди­те гра­дус­ную меру угла ∠ВОА, если угол ∠ВОА в три раза боль­ше угла ∠ВОС.

                                                              

Рис. 8. Ри­су­нок к при­ме­ру 3

Ре­ше­ние:

Ре­ша­ем эту за­да­чу по­доб­но преды­ду­щей. Пусть гра­дус­ная мера угла ∠ВОС равна хо, тогда мера угла ∠ВОА равна (3х)о. По­сколь­ку их сумма будет равна 108о (по усло­вию), со­ста­вим и решим урав­не­ние:

Х + 3х = 108

4х = 108         

х = 27

Со­от­вет­ствен­но, мера угла ∠ВОА равна (3х)о, то есть 81о.

Ответ: 81о.

При­мер 4:

На ри­сун­ке изоб­ра­жен раз­вер­ну­тый угол ∠АОD. Углы ∠ВОА и ∠СОD равны. Ука­жи­те, есть ли на ри­сун­ке еще рав­ные углы?

Ре­ше­ние:

Вы­пол­ним ри­су­нок к за­да­че.

                                                                         

Рис. 9. Ри­су­нок к при­ме­ру 4

Рас­смот­рим углы ∠АОС и ∠ВОD. Они со­сто­ят из рав­ных между собой ча­стей ∠ВОА и ∠СОD, а также общей части ∠ВОС. Вы­пол­ним сле­ду­ю­щую за­пись:

По­сколь­ку ∠ВОС – общий, а ∠АОС = ∠ВОD (по усло­вию), то ∠АОС = ∠ВОD.

Ответ: ∠АОС = ∠ВОD.

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/7-klass/nachalnye-geometricheskie-svedeniya/izmerenie-uglov

http://www.youtube.com/watch?v=rW2hWNeyco8

http://www.youtube.com/watch?v=e3pGyF3D0Ko

http://yuliaandreevna.ucoz.ru/izmerenie_otrezkov.jpg

http://klassnoedelo.ru/upload/iblock/0ff/0ff02026289ce10a139e5c7a81544908.jpg

http://5klass.net/datas/geometrija/Izmerenie-uglov-7-klass/0003-003-Izmerenie-uglov.jpg

http://5klass.net/datas/geometrija/Izmerenie-uglov-7-klass/0010-010-Vidy-uglov.jpg

http://u.5klass.net/zip/b16c483181631583c9663c9b68c8658d.zip

http://www.flconf.org/education/wp-content/uploads/2011/04/5107103-1886x2550-1-1024x757.jpg

http://cs1-26v4.vk-cdn.net/p15/f1c21f09bd9fad.mp3?extra=u96JCzuBb-XdruFah977CJD_izMWWpkY6XMumaQX91DaN6oYjpkhgbiIWHT_JgbeMV8sBTXjR7DNV22iBzUUOuBrsARIHPev

Файлы