6 класс. Математика. Сложение и вычитание смешанных чисел

Комментарии преподавателя

 Введение

Тема урока: «Сло­же­ние и вы­чи­та­ние сме­шан­ных чисел».

Но дело в том, что это не новые числа. Сме­шан­ное число  – это два и еще . Про­сто сумма двух чисел.

Мы умеем уже скла­ды­вать целые числа, дроб­ные числа. А сло­же­ние сме­шан­ных чисел – это то же самое, это сло­же­ние целых чисел и сло­же­ние обык­но­вен­ных дро­бей. Надо ис­поль­зо­вать те зна­ния, ко­то­рые у нас уже есть.

Оста­ет­ся рас­смот­реть, по­че­му они так пи­шут­ся и так на­зы­ва­ют­ся, и убе­дить­ся на при­ме­рах, что ни­ка­ких новых зна­ний нам не нужно, ни­ка­ких новых пра­вил учить не по­на­до­бит­ся.

 Пример 1

Сло­жить два сме­шан­ных числа: , .

На­пи­шем у каж­до­го знак «+».

Те­перь мы лучше видим все 4 сла­га­е­мых. Сло­жим те­перь так, как нам удоб­нее.

Целые числа 7 и 2 сло­жить легко.

Обык­но­вен­ные дроби мы тоже умеем скла­ды­вать. При­ве­дем их к об­ще­му зна­ме­на­те­лю.

Ответ: .

 Пример 2

По­ста­вим знаки «+»:

Сло­жим от­дель­но целые числа и от­дель­но обык­но­вен­ные дроби.

Дробь  уже можно за­пи­сать как сме­шан­ную, убрав знак плюс, но обык­но­вен­ную дробь можно за­пи­сать и проще. Вы­де­лим целую часть.

К целой части до­бав­ля­ет­ся еще еди­ни­ца.

Ответ: 
.

 Пример 3

По­ста­вим знаки «+»:

Можно сло­жить от­дель­но целые числа и дроби, но у дроби  можно вы­де­лить целую часть, ста­нет проще.

Ответ: .

 Пример 4

 Вычитание смешанных дробей

А как вы­чи­тать? Все опять про­сто.

Как можно иначе за­пи­сать сме­шан­ную дробь с ми­ну­сом впе­ре­ди?

Минус от­но­сит­ся ко всей дроби. Можно по­ста­вить скоб­ки и минус перед ними или рас­крыть скоб­ки. Минус будет у каж­до­го сла­га­е­мо­го.

 Пример 5

Здесь по­лез­ный навык – это уметь от­нять от еди­ни­цы или дру­го­го це­ло­го числа пра­виль­ную дробь.

 Вычитание правильной дроби из целого числа

1) 

2) 

3) 

Сло­же­ние двух от­ри­ца­тель­ных сме­шан­ных дро­бей не пред­став­ля­ет про­бле­мы.

При­мер 6

Ответ: .

Необя­за­тель­но рас­пи­сы­вать все по­дроб­но.

Если вы чув­ству­е­те себя уве­рен­но, то мно­гое можно де­лать в уме.

 Задание

Са­мо­сто­я­тель­но вы­пол­ни­те несколь­ко за­да­ний, а потом про­верь­те.

Про­ве­ря­ем.

 

---

Сме­шан­ные числа

Дроби нужны для за­пи­си неце­лых ко­ли­честв: треть пути, чет­верть часа, по­ло­ви­на яб­ло­ка. Это все при­ме­ры, когда ко­ли­че­ство мень­ше од­но­го. Но неце­лое ко­ли­че­ство может быть и боль­ше од­но­го: пол­то­ра литра мо­ло­ка; два с по­ло­ви­ной часа; три с по­ло­ви­ной ки­ло­мет­ра. Как удоб­нее всего за­пи­сы­вать эти ко­ли­че­ства?

Если мы делим 7 яблок на троих, то это можно сде­лать двумя спо­со­ба­ми:

1) Каж­дое яб­ло­ко делим на три части и раз­да­ем эти части всем участ­ни­кам. Каж­дый такой ку­со­чек – это  яб­ло­ка.

В итоге каж­дый по­лу­чит 7 таких ку­соч­ков: .

2) Проще каж­до­му раз­дать по два яб­ло­ка. А остав­ши­е­ся раз­де­лить на три части и раз­дать. Все-та­ки легче ре­зать одно яб­ло­ко, чем семь.

В итоге каж­дый по­лу­чит по два целых и еще по одной трети: .

Это раз­ные за­пи­си од­но­го и того же ко­ли­че­ства.

Такие ко­ли­че­ства, целое плюс дроб­ное, встре­ча­ют­ся часто.

Чтобы упро­стить за­пись, до­го­во­ри­лись, что можно не пи­сать знак «+»:

.

В по­след­ней за­пи­си сме­ша­лись целое и дроб­ное число. По­это­му такую за­пись на­зва­ли сме­шан­ным чис­лом или сме­шан­ной дро­бью.

И непра­виль­ная дробь, и сме­шан­ная обо­зна­ча­ют одно и то же ко­ли­че­ство.

Какая удоб­нее? Это за­ви­сит от си­ту­а­ции.

По сме­шан­ной легче пред­ста­вить ко­ли­че­ство.

По левой за­пи­си мы по­ни­ма­ем толь­ко, что это число боль­ше еди­ни­цы. А вот по пра­вой – что число почти равно трем, чуть-чуть боль­ше трех, на .

Скла­ды­вать и вы­чи­тать дроби удоб­нее в виде сме­шан­но­го числа, а умно­жать и де­лить – в виде обык­но­вен­ной дроби.

Де­ся­тич­ные дроби очень близ­ки к сме­шан­ным чис­лам – это почти одно и то же. Про­сто раз­ная за­пись, но смысл один. Сна­ча­ла за­пи­сы­ва­ет­ся целая часть, потом дроб­ная.

Если у де­ся­тич­ной дроби целая часть равна нулю, то она легко за­пи­сы­ва­ет­ся обык­но­вен­ной пра­виль­ной дро­бью, про­сто ноль целых в сме­шан­ной дроби не пишем.

Итак, между целой и дроб­ной ча­стя­ми сме­шан­ной дроби про­пу­щен знак «+». Если это пом­нить, то не нужно ни­ка­ких до­пол­ни­тель­ных пра­вил.

Чтобы пре­вра­тить сме­шан­ную дробь в обык­но­вен­ную, нужно сло­жить целое число и дробь.

Чтобы сло­жить целое число с дро­бью, пред­ста­вим 4 как дробь со зна­ме­на­те­лем еди­ни­ца, при­ве­дем ее к зна­ме­на­те­лю 7, до­мно­жив чис­ли­тель и зна­ме­на­тель на 7.

Или, в дру­гую сто­ро­ну, вы­не­сем целую часть из непра­виль­ной дроби.

Нам давно зна­ком этот спо­соб. Де­ле­ние стол­би­ком с остат­ком – это и есть вы­не­се­ние целой части.

Вер­нем­ся к 7 яб­ло­кам, ко­то­рые мы делим на троих.

Раз­де­лим стол­би­ком 7 на 3 с остат­ком.

Ответ: 2 и 1 в остат­ке. То есть по два целых яб­ло­ка уже до­ста­лось всем, и одно оста­лось. Его нужно де­лить на три части.

Ко­неч­но, в таком про­стом слу­ча­ем мы обой­дем­ся без де­ле­ния стол­би­ком.

Число 7 боль­ше трех и не де­лит­ся на три. Его можно раз­бить на две части – часть, ко­то­рая де­лит­ся на 3 – 6, и оста­ток, ко­то­рый мень­ше трех, – 1. 6 яблок де­лит­ся на 3, это два, и еще одно делим на три. Это .

В более слож­ных слу­ча­ях все-та­ки нужно вос­поль­зо­вать­ся де­ле­ни­ем в стол­бик.

Чтобы вы­не­сти целую часть, раз­де­лим чис­ли­тель на зна­ме­на­тель в стол­бик.

По­лу­чи­ли 27 и 5 в остат­ке. То есть, мы раз­би­ли число 221 на две части: пер­вая, ко­то­рая де­лит­ся на 8 и дает в ре­зуль­та­те 27 (саму эту часть мы не ви­де­ли, но нетруд­но до­га­дать­ся по остат­ку, что она равна 216) и оста­ток, мень­ший 8, – это 5:

источник конспекта - http://interneturok.ru/ru/school/matematika/6-klass/slozhenie-i-vychitanie-drobej-s-raznymi-znamenatelyami/slozhenie-i-vychitanie-smeshannyh-chisel?seconds=0&chapter_id=340

источник видео - http://www.youtube.com/watch?v=6m5kyJM-dPk

источник видео- http://www.youtube.com/watch?v=496Ylhlb4K4

источник видео - http://www.youtube.com/watch?v=Y3f9MTK86WY

источник презентации - http://ppt4web.ru/matematika/slozhenie-i-vychitanie-smeshannykh-chisel2.html

Файлы