5 класс. Математика. Формулы.
5 класс. Математика. Формулы.
Комментарии преподавателя
Введение:
Как вы думаете, что тяжелее: 1 кг пуха или 1 кг гвоздей? А что занимает больше места? Вот об этом мы сегодня будем говорить. Будем разбираться, в чем же разница между объемом и массой.
Определение объема
Объем – это то, сколько места в пространстве занимает объект, а масса – это то, сколько он весит. Вот литр – это объем или масса? И как он связан с килограммом? В магазине молоко продается в литровых бутылках, вода продается 1,5-2-литровых бутылках, сметана продается в банках по 250 грамм. А что такое 0,33 л?
Измерение объема
Итак, давайте возьмем весы, бутылку и нальем в нее 600 грамм масла. Потом возьмем другую такую же бутылку и нальем в нее 600 грамм воды. А теперь мы возьмем тесто для блинчиков и нальем в такую же бутылку 600 грамм. Посмотрите, мы везде наливали 600 грамм – одну и ту же массу, а уровень жидкостей получился разный, но масса не изменилась (см. рис. 1).
Рис. 1. Сравнение уровней жидкостей: масла, воды и теста для блинчиков
Что же менялось? Менялось количество занимаемого места. Как раз это – количество занимаемого места – называют объемом. Масса у нас везде была одна и та же, а объем получился разный.
Так что же такое, спросите вы, литр? Возьмем колбу и нальем в нее 1 кг воды. Так вот, 1 кг воды, то есть то место, которое занимает 1 кг воды, договорились называть литром.
Давайте еще раз сформулируем. Объем – это число, показывающее, сколько места в пространстве занимает объект. А чем же, кроме литров, меряют объект? Так же, как и у длины, и у площади существует много разных специальных величин измерения. Например, баррель. Баррель – это количество нефти, которое помещается в бочку, определенного размера (см. рис. 2).
Рис. 2. Баррель
Или есть такая величина как галлон. Галлон – это величина, которой пользуются для измерения в Англии и в Америке. Но обычно объемы меряют кубическими дециметрами, кубическими сантиметрами, кубическими метрами. А как же соотносится литр с кубическим дециметром или метром? На самом деле литр – это один кубический дециметр (см. рис. 3).
Рис. 3. Литр – кубический дециметр
То есть внутрь этого кубика помещается ровно 1 кг воды. Дело не в том, какой формы коробка, а сколько туда помещается. Давайте попробуем в кубический дециметр насыпать муки. Или можно пересыпать муку в пакет – и все равно получится 1 литр (или 1 кубический дециметр). То, что там внутри, будет литр или кубический дециметр, потому что не важно, какой формы, – важно, сколько занимает места.
Объем прямоугольного параллелепипеда
Очень похоже обстоят дела с объемом прямоугольного параллелепипеда.
Объем куба со стороной 1 единица – это 1 кубическая единица. Опять же, исходные линейные величины могут быть любыми: миллиметры, сантиметры, дюймы.
Например, 1 см3 – это объем куба со стороной 1 см, а 1 км3 – это объем куба со стороной 1 км.
Найдем объем прямоугольного параллелепипеда со сторонами 7 см, 5 см, 4 см. (Рис. 7.)
Рис. 7. Прямоугольный параллелепипед
Решение
Объем нашего прямоугольного параллелепипеда – это количество единичных кубов, помещающихся в него.
Уложим на дно ряд единичных кубиков со стороной 1 см вдоль длинной стороны. Поместилось 7 штук. Уже по опыту работы с прямоугольником мы знаем, что на дно поместится всего 5 таких рядов, по 7 штук в каждом. То есть всего:
Назовем это слой. Сколько таких слоев мы можем уложить друг на друга?
Это зависит от высоты. Она равна 4 см. Значит, укладывается 4 слоя в каждом по 35 штук. Всего:
А откуда у нас появилось число 35? Это 75. То есть количество кубиков мы получили перемножением длин всех трех сторон.
Но это и есть объем нашего прямоугольного параллелепипеда.
Ответ: 140
Теперь мы можем записать формулу и в общем виде. (Рис. 8.)
Рис. 8. Объем параллелепипеда
Объем прямоугольного параллелепипеда со сторонами , , равен произведению всех трех сторон.
Если длины сторон даны в сантиметрах, то объем получится в кубических сантиметрах (см3).
Если в метрах, то объем в кубических метрах (м3).
Аналогично объем может быть измерен в кубических миллиметрах, километрах и т. д.
Задача 1
Стеклянный куб со стороной 1 м наполнен водой целиком. Какова масса воды? (Рис. 9.)
Рис. 9. Куб
Решение
Куб является единичным. Сторона – 1 м. Объем – 1 м3.
Если мы знаем, сколько весит 1 кубический метр воды (сокращенно говорят кубометр), то задача решена.
Но если мы этого не знаем, то нетрудно посчитать.
Длина стороны .
Посчитаем объем в дм3.
Но 1 дм3 имеет отдельное название, 1 литр. То есть у нас 1000 литров воды.
Нам всем известно, что масса одного литра воды равна 1 кг. То есть у нас 1000 кг воды, или 1 тонна.
Понятно, что такой куб, наполненный водой, не под силу передвинуть ни одному обычному человеку.
Ответ: 1 т.
Задача 2
Рис. 10. Холодильник
Холодильник имеет высоту 2 метра, ширину 60 см и глубину 50 см. Найти его объем.
Решение
Прежде чем мы воспользуемся формулой объема – произведение длин всех сторон – необходимо перевести длины в одинаковые единицы измерения.
Мы можем перевести все в метры или все в сантиметры.
Соответственно, и объем мы получим или в кубических метрах, или кубических сантиметрах.
Сделаем и так, и так.
Ответ: или
Думаю, вы согласитесь, что в кубических метрах объем более понятен.
Человек на глаз плохо отличает число с пятью нулями от числа с шестью нулями, а ведь одно в 10 раз больше, чем другое.
Перевод единиц объема
Часто нам нужно перевести одну единицу объема в другую. Например, кубометры в кубические дециметры. Тяжело запомнить все эти соотношения. Но этого и не нужно делать. Достаточно понять общий принцип.
Например, сколько кубических сантиметров в кубическом метре?
Давайте посмотрим, сколько кубиков со стороной 1 сантиметр поместится в куб со стороной 1 м. (Рис. 11.)
Рис. 11. Куб
В один ряд укладывается 100 штук (ведь в одном метре 100 см).
В один слой укладывается 100 рядов или кубиков.
Всего помещается 100 слоев.
Всего
Таким образом,
То есть если линейные величины связаны соотношением «в одном метре 100 см», то чтобы получить соотношение для кубических величин, нужно возвести 100 в 3 степень (). И не нужно каждый раз чертить кубы.
Заодно мы увидели соотношение и для единиц площади. В одном квадратном метре квадратных сантиметров. В одном слое у нас было 10 000 кубиков.
Сколько в одном кубическом километре кубических метров?
Ответ: 1 млрд м3.
Каждый кубометр воды весит 1 т. Значит, кубический километр воды весит 1 млрд тонн. Такими единицами пользуются при измерении количества воды в морях и океанах.
Какова масса одного кубического сантиметра воды?
Мы знаем массу одного литра, это 1 кг, но 1 литр – это кубический дециметр.
Так как , то . Но это значит, что 1 весит:
Для одной тысячной существует приставка «милли-» (помним, что миллиметр – это одна тысячная метра), эту приставку используют и здесь.
То есть иными словами мы можем сказать, что один миллилитр воды имеет массу 1 г.
Источник видео: http://www.youtube.com/watch?v=4suTtsj23t4
Источники конспекта:
http://interneturok.ru/ru/school/matematika/5-klass/bplowadi-i-obyomyb/ob-yomy-ob-yomy-pryamougolnogo-parallelepipeda?konspekt&chapter_id=767
http://interneturok.ru/ru/school/matematika/5-klass/bplowadi-i-obyomyb/ob-yom?konspekt&chapter_id=767
Источник теста: http://alfusja-bahova.ucoz.ru/index/test_28_obem_prjamougolnogo_parallelepipeda_edinicy_obema/0-110