5 класс. Математика. Формулы.

Комментарии преподавателя

 

Введение:

Как вы ду­ма­е­те, что тя­же­лее: 1 кг пуха или 1 кг гвоз­дей? А что за­ни­ма­ет боль­ше места? Вот об этом мы се­год­ня будем го­во­рить. Будем раз­би­рать­ся, в чем же раз­ни­ца между объ­е­мом и мас­сой.

Определение объема

Объем – это то, сколь­ко места в про­стран­стве за­ни­ма­ет объ­ект, а масса – это то, сколь­ко он весит. Вот литр – это объем или масса? И как он свя­зан с ки­ло­грам­мом? В ма­га­зине мо­ло­ко про­да­ет­ся в лит­ро­вых бу­тыл­ках, вода про­да­ет­ся 1,5-2-лит­ро­вых бу­тыл­ках, сме­та­на про­да­ет­ся в бан­ках по 250 грамм. А что такое 0,33 л?

Измерение объема

Итак, да­вай­те возь­мем весы, бу­тыл­ку и на­льем в нее 600 грамм масла. Потом возь­мем дру­гую такую же бу­тыл­ку и на­льем в нее 600 грамм воды. А те­перь мы возь­мем тесто для блин­чи­ков и на­льем в такую же бу­тыл­ку 600 грамм. По­смот­ри­те, мы везде на­ли­ва­ли 600 грамм – одну и ту же массу, а уро­вень жид­ко­стей по­лу­чил­ся раз­ный, но масса не из­ме­ни­лась (см. рис. 1).

Рис. 1. Срав­не­ние уров­ней жид­ко­стей: масла, воды и теста для блин­чи­ков 

Что же ме­ня­лось? Ме­ня­лось ко­ли­че­ство за­ни­ма­е­мо­го места. Как раз это – ко­ли­че­ство за­ни­ма­е­мо­го места – на­зы­ва­ют объ­е­мом. Масса у нас везде была одна и та же, а объем по­лу­чил­ся раз­ный.

Так что же такое, спро­си­те вы, литр? Возь­мем колбу и на­льем в нее 1 кг воды. Так вот, 1 кг воды, то есть то место, ко­то­рое за­ни­ма­ет 1 кг воды, до­го­во­ри­лись на­зы­вать лит­ром.

Да­вай­те еще раз сфор­му­ли­ру­ем. Объем – это число, по­ка­зы­ва­ю­щее, сколь­ко места в про­стран­стве за­ни­ма­ет объ­ект. А чем же, кроме лит­ров, ме­ря­ют объ­ект? Так же, как и у длины, и у пло­ща­ди су­ще­ству­ет много раз­ных спе­ци­аль­ных ве­ли­чин из­ме­ре­ния. На­при­мер, бар­рель. Бар­рель – это ко­ли­че­ство нефти, ко­то­рое по­ме­ща­ет­ся в бочку, опре­де­лен­но­го раз­ме­ра (см. рис. 2).

Рис. 2. Бар­рель

Или есть такая ве­ли­чи­на как гал­лон. Гал­лон – это ве­ли­чи­на, ко­то­рой поль­зу­ют­ся для из­ме­ре­ния в Ан­глии и в Аме­ри­ке. Но обыч­но объ­е­мы ме­ря­ют ку­би­че­ски­ми де­ци­мет­ра­ми, ку­би­че­ски­ми сан­ти­мет­ра­ми, ку­би­че­ски­ми мет­ра­ми. А как же со­от­но­сит­ся литр с ку­би­че­ским де­ци­мет­ром или мет­ром? На самом деле литр – это один ку­би­че­ский де­ци­метр (см. рис. 3). 

Рис. 3. Литр – ку­би­че­ский де­ци­метр

То есть внутрь этого ку­би­ка по­ме­ща­ет­ся ровно 1 кг воды. Дело не в том, какой формы ко­роб­ка, а сколь­ко туда по­ме­ща­ет­ся. Да­вай­те по­про­бу­ем в ку­би­че­ский де­ци­метр на­сы­пать муки. Или можно пе­ре­сы­пать муку в пакет – и все равно по­лу­чит­ся 1 литр (или 1 ку­би­че­ский де­ци­метр). То, что там внут­ри, будет литр или ку­би­че­ский де­ци­метр, по­то­му что не важно, какой формы, – важно, сколь­ко за­ни­ма­ет места.

Объем прямоугольного параллелепипеда

Очень по­хо­же об­сто­ят дела с объ­е­мом пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да.

Объем куба со сто­ро­ной 1 еди­ни­ца – это 1 ку­би­че­ская еди­ни­ца. Опять же, ис­ход­ные ли­ней­ные ве­ли­чи­ны могут быть лю­бы­ми: мил­ли­мет­ры, сан­ти­мет­ры, дюймы.

На­при­мер, 1 см3 – это объем куба со сто­ро­ной 1 см, а 1 км3 – это объем куба со сто­ро­ной 1 км.

Най­дем объем пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да со сто­ро­на­ми 7 см, 5 см, 4 см. (Рис. 7.) 

Рис. 7. Пря­мо­уголь­ный па­рал­ле­ле­пи­пед

Ре­ше­ние

Объем на­ше­го пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да – это ко­ли­че­ство еди­нич­ных кубов, по­ме­ща­ю­щих­ся в него.

Уло­жим на дно ряд еди­нич­ных ку­би­ков со сто­ро­ной 1 см вдоль длин­ной сто­ро­ны. По­ме­сти­лось 7 штук. Уже по опыту ра­бо­ты с пря­мо­уголь­ни­ком мы знаем, что на дно по­ме­стит­ся всего 5 таких рядов, по 7 штук в каж­дом. То есть всего:

На­зо­вем это слой. Сколь­ко таких слоев мы можем уло­жить друг на друга?

Это за­ви­сит от вы­со­ты. Она равна 4 см. Зна­чит, укла­ды­ва­ет­ся 4 слоя в каж­дом по 35 штук. Всего:

А от­ку­да у нас по­яви­лось число 35? Это 75. То есть ко­ли­че­ство ку­би­ков мы по­лу­чи­ли пе­ре­мно­же­ни­ем длин всех трех сто­рон.

Но это и есть объем на­ше­го пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да.

Ответ: 140  

Те­перь мы можем за­пи­сать фор­му­лу и в общем виде. (Рис. 8.) 

Рис. 8. Объем па­рал­ле­ле­пи­пе­да

Объем пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да со сто­ро­на­ми , ,  равен про­из­ве­де­нию всех трех сто­рон.

Если длины сто­рон даны в сан­ти­мет­рах, то объем по­лу­чит­ся в ку­би­че­ских сан­ти­мет­рах (см3).

Если в мет­рах, то объем в ку­би­че­ских мет­рах (м3).

Ана­ло­гич­но объем может быть из­ме­рен в ку­би­че­ских мил­ли­мет­рах, ки­ло­мет­рах и т. д.

Задача 1

Стек­лян­ный куб со сто­ро­ной 1 м на­пол­нен водой це­ли­ком. Ка­ко­ва масса воды? (Рис. 9.)

Рис. 9. Куб

Ре­ше­ние

Куб яв­ля­ет­ся еди­нич­ным. Сто­ро­на – 1 м. Объем – 1 м3.

Если мы знаем, сколь­ко весит 1 ку­би­че­ский метр воды (со­кра­щен­но го­во­рят ку­бо­метр), то за­да­ча ре­ше­на.

Но если мы этого не знаем, то нетруд­но по­счи­тать.

Длина сто­ро­ны .

По­счи­та­ем объем в дм3.

Но 1 дм3 имеет от­дель­ное на­зва­ние, 1 литр. То есть у нас 1000 лит­ров воды.

Нам всем из­вест­но, что масса од­но­го литра воды равна 1 кг. То есть у нас 1000 кг воды, или 1 тонна.

По­нят­но, что такой куб, на­пол­нен­ный водой, не под силу пе­ре­дви­нуть ни од­но­му обыч­но­му че­ло­ве­ку.

Ответ: 1 т.

Задача 2

Рис. 10. Хо­ло­диль­ник

Хо­ло­диль­ник имеет вы­со­ту 2 метра, ши­ри­ну 60 см и глу­би­ну 50 см. Найти его объем.

Ре­ше­ние

Пре­жде чем мы вос­поль­зу­ем­ся фор­му­лой объ­е­ма – про­из­ве­де­ние длин всех сто­рон – необ­хо­ди­мо пе­ре­ве­сти длины в оди­на­ко­вые еди­ни­цы из­ме­ре­ния.

Мы можем пе­ре­ве­сти все в метры или все в сан­ти­мет­ры.

Со­от­вет­ствен­но, и объем мы по­лу­чим или в ку­би­че­ских мет­рах, или ку­би­че­ских сан­ти­мет­рах.

Сде­ла­ем и так, и так.

Ответ:  или 

Думаю, вы со­гла­си­тесь, что в ку­би­че­ских мет­рах объем более по­ня­тен.

Че­ло­век на глаз плохо от­ли­ча­ет число с пятью ну­ля­ми от числа с ше­стью ну­ля­ми, а ведь одно в 10 раз боль­ше, чем дру­гое.

Перевод единиц объема

Часто нам нужно пе­ре­ве­сти одну еди­ни­цу объ­е­ма в дру­гую. На­при­мер, ку­бо­мет­ры в ку­би­че­ские де­ци­мет­ры. Тя­же­ло за­пом­нить все эти со­от­но­ше­ния. Но этого и не нужно де­лать. До­ста­точ­но по­нять общий прин­цип.

На­при­мер, сколь­ко ку­би­че­ских сан­ти­мет­ров в ку­би­че­ском метре?

Да­вай­те по­смот­рим, сколь­ко ку­би­ков со сто­ро­ной 1 сан­ти­метр по­ме­стит­ся в куб со сто­ро­ной 1 м. (Рис. 11.)

Рис. 11. Куб

В один ряд укла­ды­ва­ет­ся 100 штук (ведь в одном метре 100 см).

В один слой укла­ды­ва­ет­ся 100 рядов или  ку­би­ков.

Всего по­ме­ща­ет­ся 100 слоев.

Всего 

Таким об­ра­зом, 

То есть если ли­ней­ные ве­ли­чи­ны свя­за­ны со­от­но­ше­ни­ем «в одном метре 100 см», то чтобы по­лу­чить со­от­но­ше­ние для ку­би­че­ских ве­ли­чин, нужно воз­ве­сти 100 в 3 сте­пень (). И не нужно каж­дый раз чер­тить кубы.

За­од­но мы уви­де­ли со­от­но­ше­ние и для еди­ниц пло­ща­ди. В одном квад­рат­ном метре  квад­рат­ных сан­ти­мет­ров. В одном слое у нас было 10 000 ку­би­ков.

Сколь­ко в одном ку­би­че­ском ки­ло­мет­ре ку­би­че­ских мет­ров?

Ответ: 1 млрд м3.

Каж­дый ку­бо­метр воды весит 1 т. Зна­чит, ку­би­че­ский ки­ло­метр воды весит 1 млрд тонн. Та­ки­ми еди­ни­ца­ми поль­зу­ют­ся при из­ме­ре­нии ко­ли­че­ства воды в морях и оке­а­нах.

Ка­ко­ва масса од­но­го ку­би­че­ско­го сан­ти­мет­ра воды?

Мы знаем массу од­но­го литра, это 1 кг, но 1 литр – это ку­би­че­ский де­ци­метр.

Так как , то . Но это зна­чит, что 1  весит:

Для одной ты­сяч­ной су­ще­ству­ет при­став­ка «мил­ли-» (пом­ним, что мил­ли­метр – это одна ты­сяч­ная метра), эту при­став­ку ис­поль­зу­ют и здесь.

То есть иными сло­ва­ми мы можем ска­зать, что один мил­ли­литр воды имеет массу 1 г.

 

Источник видео: http://www.youtube.com/watch?v=4suTtsj23t4

Источники конспекта:

 http://interneturok.ru/ru/school/matematika/5-klass/bplowadi-i-obyomyb/ob-yomy-ob-yomy-pryamougolnogo-parallelepipeda?konspekt&chapter_id=767

http://interneturok.ru/ru/school/matematika/5-klass/bplowadi-i-obyomyb/ob-yom?konspekt&chapter_id=767

Источник теста: http://alfusja-bahova.ucoz.ru/index/test_28_obem_prjamougolnogo_parallelepipeda_edinicy_obema/0-110

Файлы