7 класс. Геометрия. Начальные геометрические сведения. Перпендикулярные прямые.

Комментарии преподавателя

 Понятие «перпендикулярные прямые», теорема о пересечении прямых

Рас­смот­рим част­ный слу­чай смеж­ных углов, если они оба равны.

Рис. 1. Угол ∠АОС

На ри­сун­ке изоб­ра­же­ны смеж­ные углы ∠АОВ и ∠ВОС. α + β = 180o.

Рис. 2. Пер­пен­ди­ку­ляр­ные пря­мые

Опре­де­ле­ние: Если пе­ре­се­ка­ю­щи­е­ся пря­мые об­ра­зу­ют угол 90о, то они на­зы­ва­ют­ся пер­пен­ди­ку­ляр­ны­ми. На ри­сун­ке 2 изоб­ра­же­ны пер­пен­ди­ку­ляр­ные пря­мые АС и BD.

Обо­зна­че­ние пер­пен­ди­ку­ляр­ных пря­мых сле­ду­ю­щее: .

Оче­вид­но, что су­ще­ству­ет мно­же­ство пря­мых, ко­то­рые пер­пен­ди­ку­ляр­ны дан­ной пря­мой. Рас­смот­рим 2 из них.

Рис. 3. Пер­пен­ди­ку­ляр­ные пря­мые

На ри­сун­ке 3 изоб­ра­же­на пря­мая PQ и две пря­мые, ко­то­рые пер­пен­ди­ку­ляр­ны ей,  AA1 и BB1. До­ка­жем, что дан­ные пря­мые не пе­ре­се­ка­ют­ся между собой.

До­ка­жем ме­то­дом «от про­тив­но­го». Пред­по­ло­жим, что пря­мые  AA1  и BB1 пе­ре­се­ка­ют­ся в точке , тогда су­ще­ству­ет и дру­гая точка пе­ре­се­че­ния М в дру­гой по­лу­плос­ко­сти от­но­си­тель­но пря­мой PQ. Со­от­вет­ствен­но, через 2 точки про­хо­дит две пря­мых, а это про­ти­во­ре­чит ак­сио­ме. Наше из­на­чаль­ное пред­по­ло­же­ние невер­но, пря­мые AA1 и BB1 не пе­ре­се­ка­ют­ся.

 и .

То есть две пря­мые, пер­пен­ди­ку­ляр­ные тре­тьей, не имеют общих точек между собой.

 Решение задач

Рас­смот­рим сле­ду­ю­щие за­да­чи:

При­мер 1: Гра­дус­ная мера угла ∠АОВ равна 90о. Луч СО делит дан­ный угол на два. Найти гра­дус­ную меру угла между бис­сек­три­са­ми об­ра­зо­вав­ших­ся ∠СОА и ∠ВОС.

Ре­ше­ние:

Вы­пол­ним по­яс­ни­тель­ный ри­су­нок:

Рис. 4. Чер­теж к при­ме­ру 1

Пусть ∠ВОС = β, тогда ∠LOC =  (OL – бис­сек­три­са). Пусть ∠СОА = α, тогда ∠СОМ =   (OМ – бис­сек­три­са). ∠LOM = ∠LОС + ∠СОM =  +  = o.

Ответ: 45о.

При­мер 2: До­ка­жи­те, что бис­сек­три­сы вер­ти­каль­ных углов лежат на одной пря­мой.

Ре­ше­ние:

Рис. 5. Чер­теж к при­ме­ру 2

Рас­смот­рим вер­ти­каль­ные углы ∠BOD и ∠СОА. Бис­сек­три­сы этих углов со­от­вет­ствен­но ОМ и ОL. По­сколь­ку вер­ти­каль­ные углы равны, то пусть  ∠BOD = ∠СОА = α. Тогда ∠МОВ  = ∠СОL = . Угол ∠ВОС = β. По­сколь­ку α и β – смеж­ные, то α + β = 180о. Оче­вид­но, чтобы до­ка­зать, что ОL и ОМ лежат на одной пря­мой, необ­хо­ди­мо до­ка­зать, что угол ∠МОL – раз­вер­ну­тый. Для этого вы­пол­ним ал­геб­ра­и­че­ское сло­же­ние: ∠ МОL = ∠МОВ + ∠ВОС + ∠СОL = о.

До­ка­за­но.

При­мер 3: Могут ли пря­мые AP и AQ быть пер­пен­ди­ку­ляр­ны­ми к пря­мой a?

Ре­ше­ние:

Рис. 6. Чер­теж к при­ме­ру 3

Сама по себе пря­мая AQ может быть пер­пен­ди­ку­ляр­ной пря­мой a. Также пря­мая АР тоже может быть пер­пен­ди­ку­ляр­на a. По­сколь­ку пря­мые AP и AQ пе­ре­се­ка­ют­ся, то од­но­вре­мен­но пер­пен­ди­ку­ляр­ны­ми пря­мой a они быть не могут.

Ответ: Со­от­но­ше­ние невоз­мож­но.

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/7-klass/nachalnye-geometricheskie-svedeniya/perpendikulyarnye-pryamye

http://www.youtube.com/watch?v=NQKDlO2tYXY

http://www.youtube.com/watch?v=nvhlwX8p7e0

http://www.youtube.com/watch?v=5_obZ75SQX0

http://school-assistant.ru/?predmet=matematika&theme=perpendikularnie_pramie

http://www.openclass.ru/sites/default/files/dig_resource/2009/11/_7_8_rar_62903.rar

http://festival.1september.ru/articles/640245/img6.jpg

http://school212.ru/web212/school/images/geom/big/geom_7_05.jpg

Файлы