7 класс. Геометрия. Начальные геометрические сведения. Перпендикулярные прямые.

Комментарии преподавателя

 Повторение начальных геометрических сведений

Вспом­ним све­де­ния, изу­чен­ные в те­ку­щей теме:

- Ак­си­о­ма. Через две точки можно про­ве­сти пря­мую, и толь­ко одну.

- Пря­мые на плос­ко­сти могут пе­ре­се­кать­ся, могут не иметь общих точек.

- Угол из­ме­ря­ет­ся в гра­ду­сах. 1 гра­дус – это сто вось­ми­де­ся­тая часть от раз­вер­ну­то­го угла.

- Сумма смеж­ных углов равна 180о.

- Вер­ти­каль­ные углы равны между собой.

- Пря­мые, пе­ре­се­ка­ю­щи­е­ся под углом 90о, на­зы­ва­ют­ся пер­пен­ди­ку­ляр­ны­ми.

- Пря­мые, пер­пен­ди­ку­ляр­ные одной пря­мой, не пе­ре­се­ка­ют­ся.

 Пример 1

При­мер 1: Найти угол между бис­сек­три­са­ми смеж­ных углов.

Ре­ше­ние:

Рис. 1. Чер­теж к при­ме­ру 1

Бис­сек­три­са BL1 угла ∠DBC = β делит его на два угла, гра­дус­ная мера ко­то­рых равна . Бис­сек­три­са BL2 угла ∠АBC = α делит его на два угла, гра­дус­ная мера ко­то­рых равна . Необ­хо­ди­мо найти угол ∠ L1 ВL2. Вы­пол­ним сло­же­ние углов: ∠ L1ВL2 = ∠ L1 ВС + ∠СВL2 = . Сумма углов α + β равна 180о, по­сколь­ку дан­ные углы – смеж­ные.

Ответ: 90о.

От­ме­тим, что в дан­ной за­да­че нам не было из­вест­но, какие гра­дус­ные меры углов ∠DBC и ∠АBC, од­на­ко мы знаем, что их сумма равна 180о.

 Пример 2

При­мер 2: От­ре­зок дли­ной 36 см по­де­ли­ли на 4 нерав­ных части. Рас­сто­я­ние между се­ре­ди­на­ми край­них ча­стей равно 30 см. Най­ди­те рас­сто­я­ние между се­ре­ди­на­ми сред­них ча­стей от­рез­ка.

Рис. 2. Чер­теж к при­ме­ру 2

Ре­ше­ние:

Най­дем ве­ли­чи­ну суммы от­рез­ков  Со­от­вет­ствен­но,

Вы­чис­лим сумму длин остав­ших­ся от­рез­ков: 

Най­дем рас­сто­я­ние между се­ре­ди­на­ми сред­них ча­стей от­рез­ка. 

Ответ: 12 см.

 Пример 3

При­мер 3: От­ре­зок дли­ной m раз­де­лен на три части. Найти рас­сто­я­ние между се­ре­ди­на­ми край­них ча­стей.

Ре­ше­ние:

Вы­пол­ним ри­су­нок.

Рис. 3. Чер­теж к при­ме­ру 3

По­сколь­ку длина трети от­рез­ка равна , то длина по­ло­ви­ны этой части равна . Тогда чтобы найти рас­сто­я­ние между се­ре­ди­на­ми край­них ча­стей, необ­хо­ди­мо вы­пол­нить дей­ствие: .

Ответ: .

 Пример 4

Рас­смот­рим неко­то­рые за­да­чи:

При­мер 1: Три пря­мые пе­ре­се­ка­ют­ся в одной точке. Най­ди­те сумму углов ∠1 + ∠2 + ∠3 и  ∠4 + ∠5 + ∠6.

Ре­ше­ние:

Рис. 4. Чер­теж к при­ме­ру 1

∠2 = ∠4 как вер­ти­каль­ные. Сле­до­ва­тель­но, ∠1 + ∠2 + ∠3 = ∠1 + ∠4 + ∠3 = 180о, так как они об­ра­зу­ют раз­вер­ну­тый угол. ∠5 = ∠3 как вер­ти­каль­ные, по­это­му ∠4 + ∠5 + ∠6 = ∠4 + ∠3 + ∠6 = 180о.

Ответ: 180о.

 Пример 5

При­мер 2: При пе­ре­се­че­нии двух пря­мых об­ра­зо­ва­лись два угла, один из ко­то­рых на 60о боль­ше, чем по­ло­ви­на дру­го­го. Най­ди­те эти углы.

Ре­ше­ние:        

Рис. 5. Чер­теж к при­ме­ру 2

Ис­хо­дя из того, что сумма углов α и β равна 180о, как смеж­ных, а угол α на 60о боль­ше, чем β, со­ста­вим и решим си­сте­му урав­не­ний:

Ответ: Дан­ные углы равны 80 о, 80 о, 100 о, 100 о.

 Пример 6

При­мер 3: Из точки О про­ве­де­ны лучи ОА, ОВ и ОС, при­чем ОВ⊥ОА. Угол, об­ра­зо­ван­ный бис­сек­три­са­ми углов ∠АОВ и ∠ВОС, равен 75о. Най­ди­те углы ∠АОВ, ∠ВОС и ∠АОС.

Ре­ше­ние:

Рис. 6. Чер­теж к при­ме­ру 3

Пусть угол ∠АОВ = α, тогда угол ∠LOB = ∠LOA = 45o =  (так как LO – бис­сек­три­са). Ана­ло­гич­но ∠СОВ = β, тогда угол ∠МOB = ∠МOС = . По­лу­ча­ет­ся, что ∠LOM = ∠LOB + ∠BOM =  = 75o. От­сю­да .

∠АОС = α + β = .

∠ВОМ = ∠ВОС = 60о.

Ответ: 90о, 60о, 150о.

 Пример 7

При­мер 4:  Из точки О про­ве­де­ны лучи ОА, ОВ и ОС, при­чем ОВ⊥ОА. Лучи ОL и ОМ – бис­сек­три­сы углов ∠АОВ и ∠ВОС. До­ка­зать, что ∠AOС = 2∠LOM.

Ре­ше­ние:

Рис. 7. Чер­теж к при­ме­ру 4

Обо­зна­чим угол ∠ВОС = α, ∠АОВ = β. ∠ LOA = ∠LOВ =  (ОL – бис­сек­три­са). ∠МОВ = ∠МОС = . ∠ LOM = ∠МОВ + ∠LOВ = . ⇒ 

До­ка­за­но.

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/7-klass/nachalnye-geometricheskie-svedeniya/reshenie-zadach

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/7-klass/nachalnye-geometricheskie-svedeniya/reshenie-bolee-slozhnyh-zadach

http://www.youtube.com/watch?v=rWCd2IhpJDo

http://www.youtube.com/watch?v=5_obZ75SQX0

http://nsportal.ru/sites/default/files/2012/11/22/7kl_geometriya_reshenie_zadach_vertik_smezhn_ugly_perp_pryam.pptx

http://school212.ru/web212/school/images/geom/big/geom_7_05.jpg

http://istudy.su/wp-content/uploads/2013/01/3_%D0%91%D0%B8%D1%81%D1%81%D0%B5%D0%BA%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%81%D0%B0-%D1%83%D0%B3%D0%BB%D0%B0.-%D0%9F%D0%B5%D1%80%D0%BF%D0%B5%D0%BD%D0%B4%D0%B8%D0%BA%D1%83%D0%BB%D1%8F%D1%80%D0%BD%D1%8B%D0%B5-%D0%BF%D1%80%D1%8F%D0%BC%D1%8B%D0%B51-731x1024.jpg

Файлы