7 класс. Геометрия. Треугольники, признаки равенства треугольников.
7 класс. Геометрия. Треугольники, признаки равенства треугольников.
Комментарии преподавателя
Определение треугольника и его элементов
Определение: Треугольник – это геометрическая фигура, состоящая из трех точек, не лежащих на одной прямой, соединенных отрезками.
Рис. 1. Треугольник АВС
На данном рисунке изображен треугольник АВС. Обозначение выглядит так: 
.
Точка С не принадлежит отрезку АВ. Точки А, В, С называются вершинами треугольника, а отрезки АВ, АС, ВС называются его сторонами. Логично, что треугольник имеет три угла: ∠А, ∠В, ∠С, или ∠ВАС, ∠АВС, ∠ВСА. В геометрии принято, что угол А обозначается греческой буквой α, а сторона, лежащая напротив этого угла, обозначается а, поэтому ∠А = α, ВС = а. Аналогично, ∠В = β, АС = b, ∠С = γ, АВ = c.
Периметр треугольника – это сумма длин всех его сторон.
Равенство треугольников
Вспомним, какие фигуры называются равными. Фигура F1 и фигура F2 называются равными, если их можно совместить наложением.
Рис. 2. Равные треугольники АВС и А1В1С1
Треугольники АВС и А1В1С1 являются равными, так как их можно совместить наложением. Из этого факта следует, что у равных фигур равны их соответствующие элементы. Таким образом, если стороны 
, то и углы 
.
Как же доказать равенство треугольников? Первый способ – по определению. Необходимо совместить наложением два треугольника. Если их элементы совпадают, треугольники равны. Однако данный процесс трудоемкий. Второй способ – сравнить части элементов, но с гарантией совмещения всех остальных элементов, то есть разработать признаки равенства.
Решение задач
Рассмотрим следующий пример:
Пример 1: Начертите треугольник DEF таким, чтобы угол Е был прямым. Назовите стороны, лежащие против соответствующих вершин.
Решение:
Рис. 3. Рисунок к примеру 1
Ответ: сторона DF лежит напротив угла Е, сторона EF лежит напротив угла D, сторона DE лежит напротив угла F.
Пример 2: Начертите треугольник DEF таким, чтобы угол Е был прямым. Назовите углы, лежащие против соответствующих сторон.
Решение:
Рис. 4. Рисунок к примеру 2
Ответ: Угол Е лежит напротив стороны DF, угол D лежит напротив стороны EF, угол F лежит напротив стороны DE.
Пример 3: Начертите треугольник DEF таким, чтобы угол Е был прямым. Укажите углы, которые прилежат к соответствующим сторонам.
Решение:
Рис. 5. Рисунок к примеру 3
Ответ: Углы D и F прилежат к стороне DF, углы Е и F прилежат к стороне EF, углы Е и D прилежат к стороне ED.
Пример 4: Периметр треугольника равен 48 см, а одна из сторон равна 18 см. Найдите две другие стороны, если их разность равна 4,6 см.
Решение:
Выполним пояснительный рисунок.
Рис. 6. Рисунок к примеру 4
Известно, что периметр (сумма всех сторон треугольника) равен 48 см. Запишем это равенство: 
, также известно, что сторона a = 18 см, а 
. Выразим из соотношения периметра сумму 
.
. Выразим из соотношения разности двух сторон любую сторону: 
и подставим в соотношение 
. Получим и решим уравнение. 
Следовательно, 
Ответ: 12,7 см и 17,3 см.
Пример 5: Сторона АВ треугольника АВС равна 17 см. Сторона АС вдвое больше стороны АВ, а сторона ВС на 10 меньше стороны АС. Найдите периметр треугольника.
Решение:
Выполним пояснительный рисунок:
Рис. 7. Рисунок к примеру 5
Поскольку сторона АС вдвое больше стороны АВ, то АС = 2 · AB = 2 · 17 = 34 см. Далее найдем сторону ВС, по условию она меньше стороны АС на 10 см, то есть BC = AC – 10 = 34 – 10 = 24 см.
Периметр мы можем найти, сложив длины всех сторон треугольника Р = АС + ВС + АС = 34 + 24 + 17 = 75 см.
Ответ: 75 см.
Пример 6: Отрезок BD = DC. Сравните периметры треугольников АВС и ABD.
Решение:
Рис. 8. Рисунок к примеру 6
Выразим периметры соответствующих треугольников:
Чтобы сравнить, какой периметр больше, мы воспользуемся стандартным методом в математике – методом вычитания. Вычтем периметры треугольников. Учитываем также, что BD = DC.
Таким образом, мы получили положительное число (длина стороны ВС), поэтому 
.
Ответ: .
ИСТОЧНИК
http://interneturok.ru/ru/school/geometry/7-klass/treugolnikib/treugolniki
http://www.youtube.com/watch?v=PnSgjfdD5Dg
http://www.youtube.com/watch?v=-46jhzgmptU
http://volna.org/wp-content/uploads/2014/11/volna_org_poniatiie_trieugholnika_i_iegho_eliemienty_ravnyie_trieugholniki.zip
http://100-bal.ru/pars_docs/refs/48/47282/47282_html_m791904ae.gif
http://www.uchkollektor39.ru/uploads/images/items/e03e2482e0c06a2976941609e275dcf5.jpg
http://istudy.su/wp-content/uploads/2015/09/1_Vidy-treugolnikov.-Ravnye-treugolniki.jpg
http://pandia.ru/text/78/017/12676.php