7 класс. Геометрия. Треугольники, признаки равенства треугольников.

Комментарии преподавателя

 Повторение понятия «равные треугольники», введение первого признака равенства треугольника

На преды­ду­щем за­ня­тии мы ввели по­ня­тие «рав­ные тре­уголь­ни­ки» – тре­уголь­ни­ки, ко­то­рые можно сов­ме­стить на­ло­же­ни­ем. Од­на­ко очень труд­но срав­ни­вать фи­гу­ры по опре­де­ле­нию, по­это­му мы вве­дем при­зна­ки ра­вен­ства тре­уголь­ни­ков – по неко­то­рым эле­мен­там.

Рис. 1. Тре­уголь­ни­ки АВС и A1B1C1 равны

До­ка­жем тео­ре­му: если две сто­ро­ны и угол между ними од­но­го тре­уголь­ни­ка и со­от­вет­ству­ю­щие им две сто­ро­ны и угол между ними вто­ро­го тре­уголь­ни­ка равны, то дан­ные тре­уголь­ни­ки равны.

Тео­ре­ма: Дано . До­ка­зать: АВС и .

До­ка­за­тель­ство: Вы­пол­ним на­ло­же­ние дан­ных в усло­вии фигур. В ре­зуль­та­те дан­но­го дей­ствия вер­ши­ны А и А1, от­рез­ки АВ и А1В1,  АС и А1С1 сов­па­да­ют. Если рас­смат­ри­вать тре­уголь­ни­ки в целом, то  сов­па­дёт с .

Тео­ре­ма до­ка­за­на.

 Решение задач

Рас­смот­рим несколь­ко задач.

При­мер 1:

От­рез­ки АС и ВD точ­кой их пе­ре­се­че­ния О де­лят­ся по­по­лам. До­ка­жи­те, что .

До­ка­за­тель­ство: Вы­пол­ним по­яс­ни­тель­ный ри­су­нок.

Рис. 2. Чер­теж к при­ме­ру 1

От­ме­тим, что углы АОВ и СОD равны, как вер­ти­каль­ные, а сто­ро­ны ВО и АО тре­уголь­ни­ка АОВ со­от­вет­ствен­но равны сто­ро­нам OD и ОС тре­уголь­ни­ка СОD. По­это­му тре­уголь­ни­ки АОВ и СОD равны по пер­во­му при­зна­ку.

При­мер 2:

От­рез­ки АС и BD точ­кой пе­ре­се­че­ния де­лят­ся по­по­лам. До­ка­жи­те, что .

Ре­ше­ние:

Рис. 3. Чер­теж к при­ме­ру 2

В преды­ду­щей за­да­че мы до­ка­за­ли, что  по пер­во­му при­зна­ку. Из этих со­об­ра­же­ний мы можем сде­лать вывод, что AB = CD, ∠OAB = ∠OCD.

Те­перь рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки. У них АС – общая сто­ро­на, AB=CD, а ∠СAB = ∠АCD (по до­ка­зан­но­му). По­это­му  по пер­во­му при­зна­ку ра­вен­ства. Что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

При­мер 3:

Рис. 4. Чер­теж к при­ме­ру 3

На ри­сун­ке 3 от­рез­ки АВ и АС равны. Угол 1 равен углу 2. Из­вест­но, что АС = 15 см, DC = 5 см. До­ка­зать, что . Най­ди­те длины от­рез­ков BD и АВ.

Тре­уголь­ни­ки  равны по пер­во­му при­зна­ку, ведь ∠1 = ∠2, АВ = АС, а AD – общая сто­ро­на у обоих тре­уголь­ни­ков. Из ра­вен­ства тре­уголь­ни­ков сле­ду­ет ра­вен­ство неко­то­рых их со­от­вет­ству­ю­щих эле­мен­тов, по­это­му: BD = CD = 5 см,

АВ = АС = 15 см.

Ответ: 5 см, 15 см.

При­мер 4:

На ри­сун­ке 5 ВС = AD. Угол 1 равен углу 2, AD = 17 см, CD = 14 см. До­ка­зать, что . Най­ди­те АВ и ВС.

Ре­ше­ние:

Рис. 5. Чер­теж к при­ме­ру 4

Тре­уголь­ник АВС равен тре­уголь­ни­ку СDА.  по пер­во­му при­зна­ку. ∠1 = ∠2, СВ = АD, а AC – общая сто­ро­на у обоих тре­уголь­ни­ков. Из этого сле­ду­ет, что , .

Ответ: 14 см, 17 см.

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/7-klass/treugolnikib/pervyy-priznak-ravenstva-treugolnikov

http://www.youtube.com/watch?v=Cl7tD7n2Pqg

http://www.youtube.com/watch?v=0drOpQPV5UQ

http://istudy.su/wp-content/uploads/2015/09/2_Priznaki-ravenstva-treugolnikov.jpg

https://otvet.imgsmail.ru/download/174909691_d1479ecd8d55998f0b9eb3a496ca5cae_800.gif

http://test-training.ru/geometry-7-class/g7-3-1-pervy-priznak-ravenstva-treugolynikov.html

Файлы