7 класс. Геометрия. Треугольники, признаки равенства треугольников.

Виды треугольников.

НАЗАД ДАЛЬШЕ

Виды треугольников.

Комментарии преподавателя

Повторение первого признака равенства треугольников

Вспомним предварительно формулировку первого признака равенства треугольников.

Рис. 1. Первый признак равенства треугольников

Определение: Первый признак равенства треугольников – это равенство их по углу и прилежащим сторонам.

Из этих трех равенств и вытекает равенство самих треугольников.

Смысл равенства треугольников заключается в том, что при совмещении этих трех элементов гарантируется совмещение, то есть равенство всех остальных элементов двух треугольников.

Решение задач

Рассмотрим следующие задачи:

Пример 1: Измерить на местности расстояние между двумя точками A и B, между которыми нельзя пройти по прямой. Для этого выбирают такую точку С, из которой можно пройти и к точке А, и к точке В, и из которой видны обе эти точки. Провешивают расстояния АС и ВС, продолжают их за точку С и отмеряют СD = AC и ЕС = СВ. Тогда отрезок ED равен искомому расстоянию. Объясните, почему.

Решение:

Выполним пояснительный рисунок:

Рис. 2. Чертеж к примеру 1

Продлим отрезки АС и ВС. Отмеряем СЕ = СВ и CD = CA. ∆CDE = ∆CAB по первому признаку.

.

Из равенства треугольников следует, что ED = AB.

Ответ: Задача решена.

Пример 2: Через середину О отрезка АВ проведена прямая р, перпендикулярная прямой АВ. Докажите, что каждая точка Х этой прямой одинаково удалена от точек А и В (каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку АВ равноудалена от его концов).

Решение:

Рис. 3. Чертеж к примеру 2

Рассмотрим треугольники АОХ и ВОХ. ∆АОХ = ∆ВОХ – по первому признаку.

Из равенства треугольников следует, что АХ = ВХ для любой произвольной точки Х, которая принадлежит прямой р.

Ответ: Доказано.

Пример 3: На стороне АВ треугольника АВС взята точка D, а на стороне треугольника взята точка . Известно, что треугольники ADC и равны и отрезки DB и равны. Докажите равенство треугольников АВС и .

Решение:

Рис. 4. Чертеж к примеру 3

Рассмотрим треугольники АВС и . В них . АС = (поскольку треугольники ADC и равны по условию). В нашем случае для доказательства необходимо лишь, чтобы АВ = . Докажем, что это действительно так.

AD = из равенства треугольников. DB = по условию. Отсюда следует, что АВ = . и прилежащие к ним стороны тоже равны у двух треугольников, значит, АВС = .

Ответ: Доказано.

Пример 4: На сторонах ВС и равных треугольников АВС и взяты соответственно точки М и , причем ВМ : BС =: = 1 : 3. Доказать, что АМ = .

Решение:

Рис. 5. Чертеж к примеру 4

Из равенства треугольников АВС и следует, что , АВ = , ВС = . Для доказательства того, что DАВМ = D, у нас есть уже два необходимых элемента, это равенство углов и равенство сторон АВ = , значит, нам необходимо доказать, что ВМ = . =

Треугольники DАВМ = D по первому признаку. А значит, АМ = .

Ответ: Доказано.

Пример 5: На сторонах угла CAD отмечены точки В и Е так, что точка В лежит на отрезке АС, а точка Е – на отрезке AD, причем АС = AD и АВ = АЕ. Докажите, что .

Решение:

Рис. 6. Чертеж к примеру 5

Обозначим как и как . Доказать, что , – это то же самое, что доказать равенство смежных с ними углов и . DBAD = DEAC по первому признаку, поскольку у них общий, ВА = ЕА и AD = AC. , так как они лежат напротив равных сторон AD и AC соответственно. Мы доказали равенство смежных углов, а значит, и доказали равенство искомых. .