7 класс. Геометрия. Треугольники, признаки равенства треугольников.
7 класс. Геометрия. Треугольники, признаки равенства треугольников.
Комментарии преподавателя
Повторение первого признака равенства треугольников
Вспомним предварительно формулировку первого признака равенства треугольников.
Рис. 1. Первый признак равенства треугольников
Определение: Первый признак равенства треугольников – это равенство их по углу и прилежащим сторонам.
Из этих трех равенств и вытекает равенство самих треугольников.
Смысл равенства треугольников заключается в том, что при совмещении этих трех элементов гарантируется совмещение, то есть равенство всех остальных элементов двух треугольников.
Решение задач
Рассмотрим следующие задачи:
Пример 1: Измерить на местности расстояние между двумя точками A и B, между которыми нельзя пройти по прямой. Для этого выбирают такую точку С, из которой можно пройти и к точке А, и к точке В, и из которой видны обе эти точки. Провешивают расстояния АС и ВС, продолжают их за точку С и отмеряют СD = AC и ЕС = СВ. Тогда отрезок ED равен искомому расстоянию. Объясните, почему.
Решение:
Выполним пояснительный рисунок:
Рис. 2. Чертеж к примеру 1
Продлим отрезки АС и ВС. Отмеряем СЕ = СВ и CD = CA. ∆CDE = ∆CAB по первому признаку.
.
Из равенства треугольников следует, что ED = AB.
Ответ: Задача решена.
Пример 2: Через середину О отрезка АВ проведена прямая р, перпендикулярная прямой АВ. Докажите, что каждая точка Х этой прямой одинаково удалена от точек А и В (каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку АВ равноудалена от его концов).
Решение:
Рис. 3. Чертеж к примеру 2
Рассмотрим треугольники АОХ и ВОХ. ∆АОХ = ∆ВОХ – по первому признаку.
Из равенства треугольников следует, что АХ = ВХ для любой произвольной точки Х, которая принадлежит прямой р.
Ответ: Доказано.
Пример 3: На стороне АВ треугольника АВС взята точка D, а на стороне 
треугольника 
взята точка 
. Известно, что треугольники ADC и 
равны и отрезки DB и 
равны. Докажите равенство треугольников АВС и 
.
Решение:
Рис. 4. Чертеж к примеру 3
Рассмотрим треугольники АВС и . В них 
. АС = 
(поскольку треугольники ADC и 
равны по условию). В нашем случае для доказательства необходимо лишь, чтобы АВ = 
. Докажем, что это действительно так.
AD = 
из равенства треугольников. DB = 
по условию. Отсюда следует, что АВ = . 
и прилежащие к ним стороны тоже равны у двух треугольников, значит, АВС = .
Ответ: Доказано.
Пример 4: На сторонах ВС и 
равных треугольников АВС и 
взяты соответственно точки М и 
, причем ВМ : BС =
:
= 1 : 3. Доказать, что АМ = 
.
Решение:
Рис. 5. Чертеж к примеру 4
Из равенства треугольников АВС и 
следует, что 
, АВ = 
, ВС = 
. Для доказательства того, что DАВМ = D
, у нас есть уже два необходимых элемента, это равенство углов 
и равенство сторон АВ = , значит, нам необходимо доказать, что ВМ = . 
= 
Треугольники DАВМ = D
по первому признаку. А значит, АМ = 
.
Ответ: Доказано.
Пример 5: На сторонах угла CAD отмечены точки В и Е так, что точка В лежит на отрезке АС, а точка Е – на отрезке AD, причем АС = AD и АВ = АЕ. Докажите, что 
.
Решение:
Рис. 6. Чертеж к примеру 5
Обозначим 
как 
и 
как 
. Доказать, что 
, – это то же самое, что доказать равенство смежных с ними углов 
и 
. DBAD = DEAC по первому признаку, поскольку 
у них общий, ВА = ЕА и AD = AC. 
, так как они лежат напротив равных сторон AD и AC соответственно. Мы доказали равенство смежных углов, а значит, и доказали равенство искомых. 
.
Ответ: Доказано.
ИСТОЧНИК
http://interneturok.ru/ru/school/geometry/7-klass/treugolnikib/reshenie-zadach-po-teme-pervyy-priznak-ravenstva-treugolnikov
http://www.youtube.com/watch?v=xRh4T-pgx9Q
http://www.youtube.com/watch?v=-46jhzgmptU
http://test-training.ru/geometry-7-class/g7-3-1-pervy-priznak-ravenstva-treugolynikov.html
http://proteacher.ru/2015/02/19/8_1-yy_priznak_ravenstva_treugolnikov_1424348783_102992.ppt