7 класс. Геометрия. Треугольники, признаки равенства треугольников.
7 класс. Геометрия. Треугольники, признаки равенства треугольников.
Комментарии преподавателя
Повторение перпендикулярности двух прямых
Для начала вспомним важный факт: две пересекающиеся прямые называются перпендикулярными, если они образуют четыре прямых угла.
Рис. 1. Перпендикулярные прямые
АС⊥ВD, поскольку четыре угла по 90°. Напомним также, что при пересечении любых прямых образуются четыре угла: 2 вертикальных, которые равны между собой, еще пара равных вертикальных углов. a и b – смежные углы. И по теореме о смежных углах a + b = 180°.
Рис. 2. Пересечение прямых
В единственном случае a = b = 90°. В этом случае прямые АС и ВD называются перпендикулярными.
Теорема о двух прямых, перпендикулярных к третьей
Теорема 1: Две прямые, перпендикулярные к третьей, не пересекаются.
Рис. 3. Чертеж к теореме 1
Отсюда следует, что AA1 и BB1 не имеют общих точек. Прямые AA1 и BB1 можно продлить бесконечно, но при этом они не пересекутся. В этом заключается смысл теоремы.
Определение перпендикуляра к прямой
Определение: Пусть прямые АН и a перпендикулярны. Мы знаем, что чтобы все четыре угла при этих прямых были по 90°, необходимо, чтобы один из них был прямым. Отрезок АН называют перпендикуляром, проведенным из точки А к прямой a, если прямые АН и a перпендикулярны. При этом точка Н называется основанием перпендикуляра.
Рис. 4. Чертеж к определению перпендикуляра
В данном случае перпендикуляр – это отрезок. Значит, перпендикуляр к прямой – это отрезок.
Теорема 2: Из точки, не лежащей на прямой, можно провести перпендикуляр к этой прямой, и притом только один.
Рис. 5. Чертеж к теореме 2
Теорема единственности перпендикуляра, проведенного из произвольной точки к заданной прямой
Существует множество точек, которые не лежат на прямой a. Из любой точки А, не лежащей на данной прямой, можно провести перпендикуляр к прямой. К тому же этот перпендикуляр единственный.
Дано: точка А не принадлежит прямой a.
Доказать: существует единственный отрезок АН, где АН.
Доказательство:
1. Проведем 2 равных угла. ∠АВС =∠МВС или ∠1 = ∠2.
2. Равные углы можно совместить наложением. При этом точка А перейдет в точку A1. ВА = ВA1(перегибание по прямой ВС).
3. Соединим точки А и A1. Получим точку Н. Углы ∠ВНА = ∠3, ∠ВНA1 = ∠4.
4.
Следовательно, треугольники ВНА = ВНA1 по первому признаку равенства треугольников, то есть по углу и двум прилежащим сторонам. Из равенства треугольников следует равенство всех элементов. А значит, ∠3 = ∠4. Эти углы лежат против равных сторон. Два смежных равны только в случае, если каждый из них равен по 90°. А значит, АН^ВС. Мы доказали, что из точки А можно провести перпендикуляр к прямой a.
Рис. 6. Чертеж к доказательству теоремы 2(1)
Единственность перпендикуляра, проведенного из точки А к прямой, докажем методом «от противного».
5. Предположим, что из точки А можно провести к прямой a два разных перпендикуляра.
АН ⊥ a, АH1 ⊥ a.
Рис. 7. Чертеж к доказательству единственности перпендикуляра
Это невозможно, поскольку из разных точек прямой a проведены 2 перпендикуляра, которые имеют общую точку А. Мы получили противоречие, значит, наше предположение неверно. Из точки А можно провести лишь один перпендикуляр к прямой a.
Решение задач
Пример 1: Точки А и С лежат по одну сторону от прямой a. Перпендикуляры АВ и СD к прямой a равны.
1. Докажите, что АВD = ∠CDВ.
2. Найдите ∠АВС, если ∠АDВ = 44°.
Дано: А) АВ⊥ a, CD ⊥ a.
Доказать: ∠ADB = ∠CDB.
Доказательство:
Выполним пояснительный рисунок:
Рис. 8. Чертеж к примеру 1(а)
Доказательство основано на понятии перпендикуляра из точки к прямой. Отсюда следует, что ADB = CDB, что и требовалось доказать.
Дано: Б) АВ⊥ a, CD⊥ a. AB = CD, ∠ADB = 44°. Найти ∠АВС.
Доказательство:
Выполним пояснительный рисунок:
Рис. 9. Чертеж к примеру 1(б)
1. ∆ABD = ∆CDB. (AB = CD, BD – общая, ∠ABD = ∠CDB). Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих элементов. AD = CB.
2. ∠ADB = ∠CBD = 44°. Поскольку эти углы лежат против равных сторон AB и CD соответственно.
3. ∠АВС = 90° - 44° = 46°
Ответ: 46°.
ИСТОЧНИК
http://interneturok.ru/ru/school/geometry/7-klass/treugolnikib/perpendikulyar-k-pryamoy
http://www.youtube.com/watch?v=huzh4ldGB80
http://www.youtube.com/watch?v=TjcMsaY1Ml4
http://школа-пифагора.рф/KIRILL/10/61.jpg
http://fs1301.gavitex.com/get/2424782339/perpendikulyar-k-prjamoy.zip
http://scienceland.info/geometry7/perpendicular