7 класс. Геометрия. Треугольники, признаки равенства треугольников.

Проверка знаний. Медианы, биссектрисы и высоты треугольника. Тест.

1 2 3 4 5

От точки, не лежащей на прямой, ...

можно провести перпендикуляр к этой прямой, и притом только один.
нельзя провести перпендикуляр к этой прямой.
можно провести два перпендикуляра к этой прямой.

1 2 3 4 5

Проверка знаний. Медианы, биссектрисы и высоты треугольника. Тест.

Комментарии преподавателя

Медианы, биссектрисы и высоты треугольника

1. Определение медианы треугольника

Определение: Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны, называется медианой треугольника.

Рис. 1. Медианы треугольника

А, В, С – вершины треугольника.

– середины сторон треугольника.

– медианы треугольника.

У каждого треугольника есть три медианы. В дальнейшем мы докажем, что все медианы треугольника пересекаются в одной точке. И эта точка обладает замечательными свойствами и называется «центром тяжести» треугольника.

2. Определение биссектрисы треугольника

Определение: Отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны, называется биссектрисой треугольника. Стоит заметить, что биссектриса угла – это луч, делящий угол на два равных, а биссектриса треугольника – это отрезок, часть луча, ограниченная стороной треугольника.

Рис. 2. Биссектрисы треугольника

C, D, E – вершины треугольника.

– биссектрисы треугольника.

Три биссектрисы любого треугольника пересекаются в одной точке, которая также имеет важное свойство.

3. Определение высоты треугольника

Определение: Перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону, называется высотой треугольника.

Рис. 3. Высоты остроугольного треугольника

А, В, С – вершины треугольника.

– высоты треугольника.

Поскольку у треугольника три вершины, а значит, и три высоты. Далее мы выясним, что все три высоты пересекаются в одной точке. Но в тупоугольном треугольнике высоты расположены следующим образом:

Рис. 4. Высоты тупоугольного треугольника

Перпендикуляр, опущенный с вершины С на прямую ВА, это перпендикуляр , который является высотой треугольника. – это перпендикуляр, опущенный с вершины В на прямую СА, которая содержит сторону АС. – это вторая высота треугольника. – третья высота треугольника. Высоты или их продолжения пересекаются в одной точке. Это будет доказано далее.

4. Решение задач

Пример 1: Медиана AD треугольника АВС продолжена за сторону ВС на отрезок DE, равный AD, и точка Е соединена с точкой С.

1. Докажите, что ∆АВD = ∆ECD.

2. Найдите ∠АСЕ, если ∠ACD = , ∠ABD = .

Дано: BD = CD, AD = ED.

Доказать: ∆ABD = ∆ECD.

Доказательство: Выполним пояснительный рисунок:

Рис. 5. Чертеж к примеру 1

треугольник ABD = треугольнику ECD по первому признаку равенства треугольников, что и требовалось доказать.

Дано: BD = CD, AD = ED, ∠ACD = , ∠ABD = .

Найти: ∠АСЕ.

Решение: Выполним пояснительный рисунок:

Рис. 6. Чертеж к примеру 1

Воспользуемся результатами предыдущей задачи, что треугольник ABD = треугольнику ECD. Треугольники равны, значит, и равны их соответствующие элементы. ∠ECD =∠ABD = .∠ACE = ∠ECD + ∠ACD = +=.