7 класс. Геометрия. Треугольники. Второй и третий признаки равенства треугольников.

Комментарии преподавателя

 Повторение понятия «равные треугольники», первого признака равенства треугольников

Для на­ча­ла вспом­ним из ма­те­ри­а­лов преды­ду­щих уро­ков, что две фи­гу­ры на­зы­ва­ют­ся рав­ны­ми, если их можно сов­ме­стить на­ло­же­ни­ем. На ри­сун­ке ука­за­ны два рав­ных от­рез­ка и два рав­ных угла.

Рис. 1. Углы А и А1 равны, АВ = CD

 Доказательство признаков равенства треугольников

Рас­смот­рим те­перь ра­вен­ство тре­уголь­ни­ков. Тре­уголь­ни­ки на­зы­ва­ют­ся рав­ны­ми, если их можно сов­ме­стить на­ло­же­ни­ем. В таком слу­чае сов­ме­стят­ся все сто­ро­ны и углы тре­уголь­ни­ков.

Рис. 2. Рав­ные тре­уголь­ни­ки АВС и А1В1С1

Те­перь мы го­то­вы сфор­му­ли­ро­вать и до­ка­зать вто­рой при­знак ра­вен­ства тре­уголь­ни­ков.

Вто­рой при­знак ра­вен­ства тре­уголь­ни­ков:

Если сто­ро­на и два при­ле­жа­щих к ней угла од­но­го тре­уголь­ни­ка со­от­вет­ствен­но равны сто­роне и двум при­ле­жа­щим к ней углам дру­го­го тре­уголь­ни­ка, такие тре­уголь­ни­ки равны.

Тео­ре­ма: Дано . До­ка­зать: АВС и .      

До­ка­за­тель­ство: Вы­пол­ним на­ло­же­ние дан­ных в усло­вии фигур. В ре­зуль­та­те дан­но­го дей­ствия вер­ши­ны А и А1, , от­рез­ки АС и А1С1 сов­па­да­ют. Если рас­смат­ри­вать тре­уголь­ни­ки в целом, то  сов­па­дет с .

Тео­ре­ма до­ка­за­на.

Рис. 3. Рав­ные тре­уголь­ни­ки АВС и А1В1С1

Тре­тий при­знак ра­вен­ства тре­уголь­ни­ков:

Если три сто­ро­ны од­но­го тре­уголь­ни­ка со­от­вет­ствен­но равны трем сто­ро­нам дру­го­го тре­уголь­ни­ка, то такие тре­уголь­ни­ки равны.

Тео­ре­ма: Дано . До­ка­зать: АВС и . 

До­ка­за­тель­ство: Вы­пол­ним на­ло­же­ние дан­ных в усло­вии фигур. В ре­зуль­та­те

дан­но­го дей­ствия имеем три слу­чая:

1. Луч СС1 внут­ри .

Рис. 4. Рав­ные тре­уголь­ни­ки АВС и А1В1С1

В таком слу­чае по пер­во­му при­зна­ку.

1. Луч СС1 сов­па­да­ет с одной из сто­рон .

2. Луч СС1 лежит вне угла .

Рис. 5. Рав­ные тре­уголь­ни­ки АВС и А1В1С1. Слу­чаи 2, 3

Слу­чаи 2 и 3 пред­ла­га­ем рас­смот­реть са­мо­сто­я­тель­но.

Тео­ре­ма до­ка­за­на.

Рис. 6. Тре­тий при­знак ра­вен­ства тре­уголь­ни­ков

 Решение задач

Рас­смот­рим неко­то­рые за­да­чи, чтобы за­кре­пить прой­ден­ный ма­те­ри­ал.

При­мер 1: Из­вест­но, что . Найти сто­ро­ны АВ и ВС.

Ре­ше­ние: Вы­пол­ним по­яс­ни­тель­ный ри­су­нок к за­да­че.

Рис. 7. Чер­теж к при­ме­ру 1

По­сколь­ку , то тре­уголь­ни­ки АВС и ADC равны по вто­ро­му при­зна­ку. Из ра­вен­ства тре­уголь­ни­ков сле­ду­ет, что .

Ответ: 11 см, 19 см.

При­мер 2: В изоб­ра­жен­ных тре­уголь­ни­ках  , , и ме­ди­а­ны ВМ и ВМ1 тоже равны. До­ка­зать ра­вен­ство тре­уголь­ни­ков: .

Рис. 8

До­ка­за­тель­ство:                                                    

Вслед­ствие того, что М и М1 – се­ре­ди­ны рав­ных от­рез­ков, то А1М1 = АМ. , ВМ = ВМ1  (по усло­вию). Сле­до­ва­тель­но,  по тре­тье­му при­зна­ку. Из ра­вен­ства тре­уголь­ни­ков сле­ду­ет ра­вен­ство углов .

,  (по усло­вию),  (по до­ка­зан­но­му). Сле­до­ва­тель­но,  по пер­во­му при­зна­ку.

Что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/7-klass/treugolnikib/vtoroy-i-tretiy-priznaki-ravenstva-treugolnikov

http://www.youtube.com/watch?v=mndwJaflB6I

http://www.youtube.com/watch?v=ei5hiZvwrbk

http://www.youtube.com/watch?v=rJVHGfMqGkk

http://oftob.ru/categories/2-%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0-6-%D0%B2%D0%B8%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BA%D0%B8%D0%BD-%D0%B7%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B8-%D1%80%D0%B5%D1%88%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F

http://istudy.su/wp-content/uploads/2015/09/2_Priznaki-ravenstva-treugolnikov.jpg

http://v.5klass.net/zip/15d106e80c112151180fbfdb0ffd7981.zip

Файлы