7 класс. Геометрия. Треугольники. Второй и третий признаки равенства треугольников.

Окружность.

НАЗАД ДАЛЬШЕ

Окружность.

Комментарии преподавателя

Определение окружности и ее элементов

Окружность – это геометрическая фигура, состоящая из множества точек, которые равноудалены от заданной точки.

На рисунке 1 изображена окружность.

Рис. 1. Окружность

Сокращенная запись заданной окружности – это Окр (O, r), что читается: «Окружность с центром в точке О и радиусом r». Точка, от которой остальные точки являются равноудаленными, называется центром окружности. Отрезок, соединяющий центр и точку, лежащую на окружности, называется радиусом. Если соединить две точки, лежащие на окружности, можно провести отрезок, который называется хордой. Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром.

Таким образом, существуют следующие обозначения:

О – центр окружности;

OM = r – радиус окружности;

OM = ON = r – радиусы окружности;

MN – хорда;

АМ – диаметр;

АM = 2r – связь между радиусом и диаметром.

Решение задач

Любые две точки рассекают окружность на две дуги, например: дуги NLMи NAM для заданных точек N и M.

Пример 1: На рисунке 2 изображена окружность. Определить центр, радиус, хорды, диаметр и возможные дуги.

Решение:

Рис. 2. Чертеж к примеру 1

Определим основные элементы данной окружности:

О – центр окружности;

OE = OD = OA = OC – радиусы окружности;

EF, BA – хорды;

DС – диаметр.

В данный момент вспомним определение круга. Круг – это часть плоскости, ограниченная окружностью. Совершенно понятно, что различие окружности от круга следующее: окружность – это линия, а круг – это часть плоскости, которую ограничивает данная линия. К примеру, на рисунке 3 изображен круг.

Рис. 3. Круг

Пример 2: На рисунке изображена окружность с диаметрами АВ и СD. Докажите, что хорды АС и BD равны. Докажите, что хорды ВС и АD равны. Докажите, что углы BАD и BСD равны.

Рис. 4. Чертеж к примеру 2

Решение:

Для начала выясним, что СО = ОD = ОВ = ОА, так как указанные отрезки – радиусы одной и той же окружности. Будем доказывать указанные утверждения цепочками треугольников. Например, по первому признаку, так как ОВ = ОА как радиусы, СО = ОD аналогично, как вертикальные. Из равенства треугольников следует, что АС = ВD.

Далее докажем, что аналогично по первому признаку. ОD = ОА, СО = ОВ как радиусы, а как вертикальные. Из равенства треугольников следует, что АD = ВC.

Далее докажем, что по третьему признаку. АD – общая сторона у треугольников, АС = ВD по доказанному утверждению в п. 1, АВ = СD как диаметры окружности. Из равенства треугольников следует, что

Что и требовалось доказать.

Пример 3: отрезок МК – диаметр окружности, а РМ и РК – равные хорды. Найдите угол РОМ.

Рис. 5. Чертеж к примеру 3

Решение:

По определению, – равнобедренный, так как РК = РМ. Поскольку ОК – ОМ – радиусы окружностей, то РО – медиана, проведенная к основанию . По свойству равнобедренного треугольника медиана, проведенная к основанию, является высотой, соответственно,.

Ответ: 90°.

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/7-klass/treugolnikib/okruzhnost-4

http://www.youtube.com/watch?v=qj515IEM3qA

http://nsportal.ru/sites/default/files/2012/02/26/geometriya7.ppt

http://school-assistant.ru/?predmet=matematika&theme=okruznost_i_krug

http://gaonula.com/images/55aa5aad90ae9.jpg

http://i.ytimg.com/vi/suVm1I42W1k/maxresdefault.jpg