7 класс. Геометрия. Треугольники. Второй и третий признаки равенства треугольников.

Комментарии преподавателя

 Повторение теоретического материала

Сна­ча­ла вспом­ним, что две фи­гу­ры на­зы­ва­ют­ся рав­ны­ми, если их можно сов­ме­стить на­ло­же­ни­ем. Од­на­ко очень труд­но срав­ни­вать фи­гу­ры по опре­де­ле­нию, по­это­му мы вве­дем при­зна­ки ра­вен­ства тре­уголь­ни­ков – по неко­то­рым эле­мен­там. 

Рис. 1. Пер­вый при­знак ра­вен­ства тре­уголь­ни­ков

Если две сто­ро­ны и угол между ними од­но­го тре­уголь­ни­ка и со­от­вет­ству­ю­щие им две сто­ро­ны и угол между ними вто­ро­го тре­уголь­ни­ка равны, то дан­ные тре­уголь­ни­ки равны. Об этом гла­сит пер­вый при­знак ра­вен­ства тре­уголь­ни­ков, то есть:

АВС = .

Вспом­ним вто­рой при­знак ра­вен­ства тре­уголь­ни­ков:

Рис. 2. Вто­рой при­знак ра­вен­ства тре­уголь­ни­ков

Если сто­ро­на и два при­ле­жа­щих к ней угла од­но­го тре­уголь­ни­ка со­от­вет­ствен­но равны сто­роне и при­ле­жа­щим к ней углам дру­го­го тре­уголь­ни­ка, такие тре­уголь­ни­ки равны.

Тре­тий при­знак ра­вен­ства тре­уголь­ни­ков гла­сит, что тре­уголь­ни­ки могут быть равны по трем сто­ро­нам.

Рис. 3. Тре­тий при­знак ра­вен­ства тре­уголь­ни­ков

Под­ра­зу­ме­ва­ет­ся, что у дан­ных тре­уголь­ни­ков равны все эле­мен­ты, но мы до­ка­зы­ва­ем ра­вен­ство толь­ко трех эле­мен­тов, и этого нам ока­зы­ва­ет­ся до­ста­точ­но для утвер­жде­ния ра­вен­ства тре­уголь­ни­ков.

Не будем за­бы­вать о рав­но­бед­рен­ном тре­уголь­ни­ке – тре­уголь­ни­ке с двумя рав­ны­ми сто­ро­на­ми. 

Рис. 4. Рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник

  бо­ко­вые сто­ро­ны тре­уголь­ни­ка, а ВС – ос­но­ва­ние тре­уголь­ни­ка. Важно за­ме­тить, что от­ре­зок AD яв­ля­ет­ся и бис­сек­три­сой угла А, и ме­ди­а­ной к сто­роне ВС, и вы­со­той к сто­роне ВС. Нема­ло­важ­но ука­зать ра­вен­ство углов .

 Решение задач

Рас­смот­рим ти­по­вые за­да­чи по этой теме.

При­мер 1: До­ка­жи­те, что в рав­ных тре­уголь­ни­ках бис­сек­три­сы, про­ве­ден­ные к со­от­вет­ствен­но рав­ным сто­ро­нам, равны. Дано, что .  бис­сек­три­сы. До­ка­зать, что.

Рис. 5. Усло­вие к при­ме­ру 1

До­ка­за­тель­ство:

Из ра­вен­ства тре­уголь­ни­ков  сле­ду­ет ра­вен­ство всех со­от­вет­ству­ю­щих их эле­мен­тов. В част­но­сти, , АВ = ,

а также , так как дан­ные углы – по­ло­ви­ны рав­ных углов .

В свете вы­ше­ука­зан­но­го, тре­уголь­ни­ки  по вто­ро­му при­зна­ку. Из ра­вен­ства сле­ду­ет, что .

Что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

Если смот­реть с по­зи­ции того, что , то все со­от­вет­ству­ю­щие сто­ро­ны и углы сов­ме­стят­ся на­ло­же­ни­ем, на­при­мер, АС и , ∠АВС и ∠ и т.д. В ко­неч­ном счете, и бис­сек­три­сы сов­ме­стят­ся, а зна­чит, они равны.

При­мер 2: Пря­мая  про­хо­дит через се­ре­ди­ну от­рез­ка АВ и пер­пен­ди­ку­ляр­на  к нему. До­ка­жи­те, что:

А.Каж­дая точка пря­мой рав­но­уда­ле­на от точек А и В.

Дано: АМ = МВ, . До­ка­зать: СА = АВ.

Б.Каж­дая точка, рав­но­уда­лен­ная от точек А и В, лежит на пря­мой .

Дано: АМ = МВ, , AD = DB. До­ка­зать: D.

Ре­ше­ние:

А. Вы­пол­ним ри­су­нок к за­да­че:

Рис. 6. Усло­вие к при­ме­ру 2а

По­сколь­ку АМ = МВ, ∠АМС = ∠СМВ = 90°, а сто­ро­на СМ – общая у тре­уголь­ни­ков АМС и ВМС, то дан­ные тре­уголь­ни­ки равны. Из ра­вен­ства тре­уголь­ни­ков сле­ду­ет ра­вен­ство всех со­от­вет­ству­ю­щих эле­мен­тов. В част­но­сти, АС = СВ.

Что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

Б.

Рис. 7. Усло­вие к при­ме­ру 2б

В рав­но­бед­рен­ном тре­уголь­ни­ке АВD  (по опре­де­ле­нию, так как AD = DB) MD яв­ля­ет­ся ме­ди­а­ной, а зна­чит, и вы­со­той. По­это­му , по­это­му D.

Что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/7-klass/treugolnikib/obobschayuschiy-urok-po-teme-treugolniki-reshenie-zadach

http://www.youtube.com/watch?v=UqMqAWVt5rQ

http://www.youtube.com/watch?v=rJVHGfMqGkk

http://www.youtube.com/watch?v=xRh4T-pgx9Q

http://www.youtube.com/watch?v=PYhCK77zyLU

http://www.uchportal.ru/_ld/292/15126644.jpg

http://uvd45.ru/3-kurs/teoriia-po-geometrii-za-7-klass/

http://www.flconf.org/education/wp-content/uploads/2011/04/5107103-1886x2550-1-1024x757.jpg

http://cs1-26v4.vk-cdn.net/p15/f1c21f09bd9fad.mp3?extra=u96JCzuBb-XdruFah977CJD_izMWWpkY6XMumaQX91DaN6oYjpkhgbiIWHT_JgbeMV8sBTXjR7DNV22iBzUUOuBrsARIHPev

http://v.5klass.net/zip/15d106e80c112151180fbfdb0ffd7981.zip

Файлы