6 класс. Математика. Отношения и пропорции

Комментарии преподавателя

 Введение

У на­ту­раль­ных чисел есть раз­ное при­ме­не­ние:

1. Обо­зна­чать ко­ли­че­ство. Пять яблок. Три ав­то­мо­би­ля.

2. За­да­вать по­ря­док. Пятый дом идет после тре­тье­го, но рань­ше де­вя­то­го.

3. Да­вать имя. Номер на фут­бол­ке спортс­ме­на, номер те­ле­фо­на – это ана­лог имени.

Точно так же и дробь имеет раз­ное на­зна­че­ние.

1.  Обо­зна­чать ко­ли­че­ство. Пол-лит­ра мо­ло­ка, чет­верть часа, две трети пути.

2. Срав­ни­вать два числа. Брату 5 лет, а сест­ре 3 года. Брат стар­ше в  раза. Эта дробь не обо­зна­ча­ет ни­ка­ко­го ко­ли­че­ства. Она срав­ни­ва­ет одно число с дру­гим. Такое срав­не­ние на­зы­ва­ет­ся от­но­ше­ни­ем. Во сколь­ко раз одно число боль­ше дру­го­го (или мень­ше).

Рас­смот­рим такую си­ту­а­цию. Ху­дож­ник, глядя на дом, на­ри­со­вал его на бу­ма­ге. Мы по­ни­ма­ем, что это тот самый дом. Но ведь на бу­ма­ге он во много раз мень­ше. Что же оста­лось неиз­мен­ным? Без из­ме­не­ния оста­лось от­но­ше­ние вы­со­ты дома к его ши­рине. То есть, если у ре­аль­но­го дома вы­со­та в три раза боль­ше ши­ри­ны, то и на кар­тин­ке то же самое. Если у дома вы­со­та 15 мет­ров, а ши­ри­на 5 мет­ров, то на кар­тин­ке вы­со­та и ши­ри­на могут быть 15 и 5 см, или 30 и 10 см, но не могут быть 10 и 5, иначе изоб­ра­жен­ный дом будет не похож на на­сто­я­щий (см. Рис. 1).

Рис. 1. От­но­ше­ния сто­рон дома

Если раз­де­лить вы­со­ту на ши­ри­ну дома, то мы по­лу­чим их от­но­ше­ние.

От­но­ше­ние везде было оди­на­ко­вым.

От­но­ше­ние может рас­смат­ри­вать­ся не толь­ко для двух, но и для лю­бо­го ко­ли­че­ства ве­ли­чин.

 Пример 1

Ло­те­рей­ный билет стоил 100 руб­лей. Маша внес­ла 10 руб­лей, Петя – 20 руб­лей, Вася – 30 руб­лей и Вика – 40 руб­лей. Всего 100 руб­лей. Билет вы­иг­рал. Вы­иг­рыш 1000 руб­лей. Как спра­вед­ли­во раз­де­лить вы­иг­рыш?

Спра­вед­ли­во будет раз­де­лить в таком же от­но­ше­нии. За­пи­шем от­но­ше­ния взно­сов.

10:20:30:40

В таком от­но­ше­нии у нас раз­де­ле­но 100 руб­лей.

По­нят­но, что, чтобы в таком же от­но­ше­нии раз­де­лить 1000 руб­лей, нужно все уве­ли­чить в 10 раз.

100:200:300:400

Это и будет спра­вед­ли­вым.

В слу­чае от­но­ше­ния двух чисел можно ис­поль­зо­вать и двое­то­чие, и дроб­ную черту:

В слу­чае трех и более чисел ис­поль­зу­ем толь­ко двое­то­чие:

1:2:3

 Отношение двух чисел

Обыч­но от­но­ше­ние двух чисел ис­поль­зу­ют в двух слу­ча­ях:

1. От­но­ше­ние двух раз­лич­ных ве­ли­чин

От­но­ше­ние вы­со­ты дома к его ши­рине.

От­но­ше­ние роста или воз­рас­та двух че­ло­век.

2. От­но­ше­ние ча­стей или части и це­ло­го

Вы­со­та ос­нов­ной части дома 5 мет­ров, крыши – 3 метра (см. Рис. 2).

Рис. 2. От­но­ше­ние ча­стей или части це­ло­го на при­ме­ре дома

Можем за­пи­сать раз­лич­ные от­но­ше­ния ча­стей или ча­стей и це­ло­го.

Крыша к ос­нов­ной части: 3:5

Крыша ко всему дому: 3:8

Ос­нов­ная часть ко всему дому: 5:8

 Задача 1

Масса слона – 5 т, масса кита – 80 т. Найти от­но­ше­ние их масс.

Чтобы найти от­но­ше­ние, нужно одну ве­ли­чи­ну раз­де­лить на дру­гую. От­но­ше­ние массы слона к массе кита со­став­ля­ет 5:80. В прин­ци­пе, за­да­ча уже ре­ше­на. Но это от­но­ше­ние можно упро­стить. Раз­де­лим обе части на 5. По­лу­чим от­но­ше­ние 1:16.

То же самое можно за­пи­сать в виде дроби.

Можно было по­сту­пить на­о­бо­рот: раз­де­лить массу кита на массу слона.

1:16 – от­но­ше­ние массы слона к массе кита

16:1 – от­но­ше­ние массы кита к массе слона

Такие от­но­ше­ния на­зы­ва­ют вза­им­но-об­рат­ны­ми.

Оба от­но­ше­ния по­ка­зы­ва­ют нам одно и то же. Кит в 16 раз тя­же­лее слона.

Ответ:1:16, 16:1.

 Задача 2

Весь путь со­став­ля­ет 30 км. Прой­де­но 6 км.

Ка­ко­во от­но­ше­ние прой­ден­но­го пути ко всему пути; к остав­ше­му­ся? (См. Рис. 3.)

Рис. 3. Ил­лю­стра­ция к за­да­че 2

Раз­де­лим прой­ден­ный путь на весь путь.

От­но­ше­ние 1:5. Это озна­ча­ет, что прой­ден­ный путь в 5 раз мень­ше всего пути. Чаще мы в такой си­ту­а­ции го­во­рим, что прой­ден­ный путь со­став­ля­ет  от всего пути, и ис­поль­зу­ем дробь.

От­но­ше­ние прой­ден­но­го пути к остав­ше­му­ся го­во­рит нам, что оста­лось в 4 раза боль­ше, чем прой­де­но.

Ответ: , .

 Задача 3

Сколь­ко про­цен­тов со­став­ля­ет 3 ми­ну­ты от 1 часа?

За­да­чи на про­цен­ты тоже яв­ля­ют­ся за­да­ча­ми на от­но­ше­ние двух ве­ли­чин.

Най­дем от­но­ше­ние 3 минут к часу.

Пе­ре­ве­дем часы в ми­ну­ты, чтобы у нас были оди­на­ко­вые еди­ни­цы из­ме­ре­ния (см. Рис. 4).

Рис. 4. Ил­лю­стра­ция к за­да­че 3

3 мин : 60 мин

Так как еди­ни­цы из­ме­ре­ния оди­на­ко­вые, то раз­ли­чие толь­ко в ко­ли­че­стве, зна­чит, можно рас­смот­реть толь­ко от­но­ше­ние чисел.

3 : 60

Со­кра­тим на 3. По­лу­ча­ем:

1 : 20 или 

Мы можем ска­зать, что 3 мин от­но­сят­ся к 1 ч, как 1 : 20.

Или: 1 час в 20 раз боль­ше, чем 3 мин.

Или: 3 ми­ну­ты со­став­ля­ет  от часа.

Так как в усло­вии про­си­ли дать ответ в про­цен­тах, то надо дробь  пе­ре­ве­сти в про­цен­ты. Про­цен­ты – это сотые. Пе­ре­ве­дем нашу дробь в сотые. До­мно­жим чис­ли­тель и зна­ме­на­тель на 5. По­лу­чим .

Три ми­ну­ты – это 5 % часа

Ответ: 5 %.

 

 Нахождение отношения без точного значения величин

Не обя­за­тель­но знать, чему равны две ве­ли­чи­ны, чтобы найти их от­но­ше­ние.

В самом деле, если прой­де­на  пути, то ка­ко­во от­но­ше­ние прой­ден­но­го пути к остав­ше­му­ся?

Прой­де­на , оста­лась . Остав­ший­ся путь в два раза боль­ше.

То есть от­но­ше­ние прой­ден­но­го к остав­ше­му­ся равно 1:2.

Тех­ни­че­ски это по­лу­чить не слож­но.

Раз­де­лим  на .

Де­ле­ние на дробь рав­но­силь­но умно­же­нию на об­рат­ную (пе­ре­вер­ну­тую) дробь.

После со­кра­ще­ния по­лу­ча­ем  или от­но­ше­ние 1:2.

 Заключение

Итак, под­ве­дем итог.

• Чтобы найти от­но­ше­ние двух ве­ли­чин, нужно одну раз­де­лить на дру­гую. Это можно за­пи­сать с по­мо­щью знака де­ле­ния или дроб­ной черты.

От­но­ше­ние  к :

• Ве­ли­чи­ны долж­ны быть вы­ра­же­ны в одних еди­ни­цах

• Ве­ли­чи­ны сами могут быть дро­бя­ми или про­цен­та­ми

Пропорция

 Вступление. Тема урока

Слово «про­пор­ция» про­ис­хо­дит от ла­тин­ско­го корня и озна­ча­ет «со­раз­мер­ность». Люди часто ис­поль­зу­ют его в по­все­днев­ной жизни. Го­во­рят, на­при­мер, о про­пор­ци­ях че­ло­ве­че­ско­го тела или о про­пор­ци­ях в ку­ли­на­рии. Се­год­ня мы узна­ем, что вкла­ды­ва­ют в это слово ма­те­ма­ти­ки.

 Пропорция. Иллюстрирующий пример и определение

Рас­смот­рим два от­но­ше­ния. Мы пом­ним, что от­но­ше­ние – это част­ное двух чисел.

За­ме­тим, что и в пер­вом и во вто­ром слу­чае зна­че­ние част­но­го равно трем. Перед нами два рав­ных от­но­ше­ния. За­пи­шем ра­вен­ство.

Пят­на­дцать так от­но­сит­ся к пяти, как два­дцать че­ты­ре к вось­ми. Такое ра­вен­ство и на­зы­ва­ют про­пор­ци­ей. Ино­гда это ра­вен­ство за­пи­сы­ва­ют в виде ра­вен­ства обык­но­вен­ных дро­бей.

Сфор­му­ли­ру­ем опре­де­ле­ние: ра­вен­ство двух от­но­ше­ний на­зы­ва­ют про­пор­ци­ей.

 Как записывают и читают пропорции. Что называют средними и крайними членами пропорции

С по­мо­щью букв про­пор­цию можно за­пи­сать:

От­но­ше­ние aкbравно от­но­ше­нию cк d. Ино­гда про­пор­цию чи­та­ют по-дру­го­му: «aтак от­но­сит­сякb, как cот­но­сит­сяк d». Участ­ву­ю­щие в про­пор­ции числа на­зы­ва­ют чле­на­ми про­пор­ции. Счи­та­ют, что все члены от­лич­ны от нуля.

Числа aи dна­зы­ва­ют край­ним чле­на­ми про­пор­ции, а числа bиc– сред­ни­ми чле­на­ми. Дей­стви­тель­но, в пер­вом ва­ри­ан­те за­пи­си числа bиcна­хо­дят­ся по­се­ре­дине,

а числа aи dс краю.

 Основное свойство пропорции. Иллюстрирующий пример и формулировка

В рас­смот­рен­ной ранее про­пор­ции най­дем про­из­ве­де­ние ее сред­них и край­них чле­нов.

За­ме­тим, что два по­лу­чен­ных про­из­ве­де­ния равны.

Сфор­му­ли­ру­ем ос­нов­ное свой­ство про­пор­ции в общем виде.

В вер­ной про­пор­ции про­из­ве­де­ние край­них чле­нов равно про­из­ве­де­нию сред­них.

Верно и об­рат­ное утвер­жде­ние.

Если про­из­ве­де­ние край­них чле­нов равно про­из­ве­де­нию сред­них чле­нов про­пор­ции, то про­пор­цияверна.

 Упражнение. Найти неизвестный член пропорции

Най­дем неиз­вест­ный член про­пор­ции, то есть решим про­пор­цию.

Числа 0,5 и 13 – это край­ние члены; числа aи 2 – это сред­ние члены. Вос­поль­зу­ем­ся ос­нов­ным свой­ством про­пор­ции.

 Упражнение. Решить пропорцию

Решим про­пор­цию.

Ис­поль­зуя ос­нов­ное свой­ство про­пор­ции, по­лу­чим:

Чтобы из­ба­вить­ся от де­ся­тич­ной дроби в зна­ме­на­те­ле, умно­жим и чис­ли­тель, и зна­ме­на­тель дроби на 10. Со­кра­тим по­лу­чен­ную дробь на 4, а затем еще раз на 4.

 

Х = 60.

 Упражнение. Узнать является ли данная пропорция верной

Про­ве­рить яв­ля­ют­ся ли дан­ные про­пор­ции вер­ны­ми:

В этом за­да­нии нужно про­ве­рить, дей­стви­тель­но ли вы­пол­ня­ет­ся ра­вен­ство между от­но­ше­ни­я­ми.

Ре­ше­ние

Най­дем про­из­ве­де­ние сред­них и про­из­ве­де­ние край­них чле­нов для каж­дой про­пор­ции. Если по­лу­чен­ные про­из­ве­де­ния равны, то про­пор­ция верна. В про­тив­ном же слу­чае, про­пор­ция яв­ля­ет­ся невер­ной.

вер­ная про­пор­ция, т. к. 

 невер­ная про­пор­ция, т. к. 

 Как сконструировать новые верные пропорции из данной

Если в вер­ной про­пор­ции по­ме­нять ме­ста­ми сред­ние или край­ние члены, то по­лу­чив­ше­е­ся новые про­пор­ции тоже верны.

Это так по­то­му, что при такой пе­ре­ста­нов­ке про­из­ве­де­ние край­них и сред­них чле­нов не из­ме­ня­ет­ся.

Раз­бе­рем при­мер. Из дан­ной про­пор­ции  по­лу­чить две новые, пе­ре­ста­вив край­ние и сред­ние члены. Сна­ча­ла пе­ре­ста­вим сред­ние члены (рис. 1).

Рис. 1. Пе­ре­ста­нов­ка сред­них чле­нов

Дей­стви­тель­но, про­из­ве­де­ние сред­них и край­них не из­ме­ни­лось, зна­чит, по­лу­чен­ная про­пор­ция верна. Пе­ре­ста­вим край­ние члены (рис. 2).

Рис. 2. Пе­ре­ста­нов­ка край­них чле­нов

И в этом слу­чае про­из­ве­де­ние сред­них и край­них не из­ме­ни­лось. Мы по­лу­чи­ли вер­ную про­пор­цию.

 

источник видео - http://www.youtube.com/watch?v=Uf-9a-0aPNY

источник видео - http://www.youtube.com/watch?v=kvlkxI4CKH4

источник видео - http://www.youtube.com/watch?v=N4Ah1hIvx9s

источник видео - http://www.youtube.com/watch?v=xAMeoTTcKVw

источник видео - http://www.youtube.com/watch?v=GP7392STr3o

источник презентации - http://ppt4web.ru/matematika/matematika-klass-otnoshenija.html

источник презентации - http://ppt4web.ru/matematika/proporcija5.html

источник конспекта - http://interneturok.ru/ru/school/matematika/6-klass/otnosheniya-i-proporcii/otnosheniya?seconds=0&chapter_id=341

источник конспекта - http://interneturok.ru/ru/school/matematika/6-klass/otnosheniya-i-proporcii/proportsii-2

Файлы