6 класс. Математика. Длина окружности. Площадь круга

Комментарии преподавателя

 1. Смысл понятия длина окружности

Рас­смот­рим чер­теж. Перед нами окруж­ность с цен­тром в точке О и от­ре­зок АВ, ко­то­рый со­еди­ня­ет две точки окруж­но­сти и про­хо­дит через ее центр. Мы пом­ним, что  он на­зы­ва­ет­ся диа­метр. Длину окруж­но­сти при­ня­то обо­зна­чать бук­вой С, а длину диа­мет­ра бук­вой d.

Чтобы уяс­нить смысл по­ня­тия длина окруж­но­сти, вы­пол­ним мыс­лен­ный экс­пе­ри­мент. Пред­ставь­те себе окруж­ность, из­го­тов­лен­ную из тон­кой про­во­ло­ки. Если раз­ре­зать про­во­ло­ку и вы­пря­мить ее, то длина вы­прям­лен­но­го куска про­во­ло­ки и будет дли­ной окруж­но­сти.

 2. Отношение длины окружности к ее диаметру. Формула длины окружности

От­но­ше­ние длины окруж­но­сти к ее диа­мет­ру – число по­сто­ян­ное. Этот факт был об­на­ру­жен экс­пе­ри­мен­таль­но. Еще егип­тяне за­ме­ти­ли, если де­лить длину окруж­но­сти на ее диа­метр, то все­гда по­лу­ча­ет­ся одно и то же число. В Древ­нем Егип­те ду­ма­ли, что это число – три, то есть длина окруж­но­сти в три раза боль­ше диа­мет­ра. Затем люди нашли более точ­ное зна­че­ние для этого от­но­ше­ния: или . В этом слу­чае длина окруж­но­сти в  раза боль­ше диа­мет­ра. Позд­нее вы­яс­ни­лось, что   - это до­ста­точ­но точ­ное, но все-та­ки при­бли­зи­тель­ное зна­че­ние. Более того, по­тре­бо­ва­лось вве­сти осо­бое число – число π. Итак, вер­ным яв­ля­ет­ся утвер­жде­ние: «длина окруж­но­сти в π раз боль­ше диа­мет­ра»

Мы знаем, что диа­метр в два раза боль­ше ра­ди­у­са, тогда у нас по­яв­ля­ет­ся фор­му­ла:

Если ра­ди­ус умно­жить на два и на π, то мы по­лу­чим длину окруж­но­сти.

 3. Число π

В гру­бом  при­бли­же­нии число π равно трем.

С точ­но­стью до сотых: π = 3,14.

С точ­но­стью до де­ся­ти­ты­сяч­ных: π = 3,1416

Можно за­пи­сать при­бли­жен­ное зна­че­ние числа π с точ­но­стью до мил­ли­он­ных, до мил­ли­ард­ных, но за­пи­сать, чему точно равно число π с по­мо­щью цифр нель­зя! Ока­за­лось, что это число нель­зя вы­ра­зить обык­но­вен­ной дро­бью. По­это­му в фор­му­лах ис­поль­зу­ют букву π, а для прак­ти­че­ских вы­чис­ле­ний при­бли­жен­ное зна­че­ние.

 4. Задача на применение формулы длины окружности

Окруж­ность арены во всех цир­ках мира имеет длину 40,8 м. Най­ди­те диа­метр арены, если  .

За­пи­шем фор­му­лу и под­ста­вим из­вест­ные зна­че­ния букв. Вме­сто π мы под­ста­ви­ли его при­бли­жен­ное зна­че­ние, по­это­му мы за­ме­ни­ли знак равно, ко­то­рый был в фор­му­ле, на знак при­бли­жен­но равно. Вы­пол­нив неслож­ные пре­об­ра­зо­ва­ния, по­лу­чим, что диа­метр  при­бли­зи­тель­но равен   13,6м.   

За­ме­тим, что три – это гру­бое при­бли­же­ние числа π. По­про­бу­ем в рас­смот­рен­ной за­да­че под­ста­вить более точ­ное зна­че­ние. Пусть .

Тогда, чтобы найти диа­метр, нужно раз­де­лить  40,8 на 3,14. Вы­пол­ним де­ле­ние. Можно, на­при­мер, вос­поль­зо­вать­ся каль­ку­ля­то­ром. По­лу­чим, что диа­метр со­став­ля­ет 12,99м.

Видно, что ошиб­ка со­ста­ви­ла 61 см. Это зна­чи­тель­ная ошиб­ка. Если вме­сто числа π под­ста­вить его зна­че­ние с точ­но­стью до де­ся­ти­ты­сяч­ных, то вновь по­лу­чен­ный ре­зуль­тат будет от­ли­чать­ся от преды­ду­ще­го на 7 мм. Раз­ни­ца в 7мм для дан­ной за­да­чи несу­ще­ствен­на.

Вывод: В рас­смот­рен­ной за­да­че оп­ти­маль­ным было зна­че­ние π с точ­но­стью до сотых. Такую точ­ность ис­поль­зу­ют при ре­ше­нии боль­шин­ства прак­ти­че­ских задач.

 5. Формула площади круга

Для вы­во­да этой фор­му­лы наших ма­те­ма­ти­че­ских зна­ний пока недо­ста­точ­но. По­это­му мы огра­ни­чим­ся неко­то­ры­ми рас­суж­де­ни­я­ми на эту тему, а для ре­ше­ния задач будем ис­поль­зо­вать го­то­вую фор­му­лу. Как по­лу­ча­ют эту фор­му­лу, вы узна­е­те в стар­ших клас­сах. Рас­смот­рим чер­теж.

Перед нами круг с цен­тром в точке О и два квад­ра­та АВСD   и EFKM. Ра­ди­ус круга равен r, по­это­му длина сто­ро­ны боль­ше­го квад­ра­та равна 2r, а его пло­щадь равна . Ма­лень­кий квад­рат сво­и­ми диа­го­на­ля­ми раз­би­ва­ет­ся на че­ты­ре рав­ных пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ка. Пло­щадь каж­до­го та­ко­го тре­уголь­ни­ка . Зна­чит, пло­щадь ма­лень­ко­го квад­ра­та . Ясно, что пло­щадь круга боль­ше пло­ща­ди ма­лень­ко­го квад­ра­та и мень­ше пло­ща­ди боль­шо­го квад­ра­та. Можно ска­зать, что пло­щадь круга при­мер­но равна .  На уро­ках ма­те­ма­ти­ки в стар­ших клас­сах будет до­ка­за­но, что .

 6. Задача на применение формулы площади круга

Диа­метр круга равен 14 см. най­ди­те его пло­щадь, если .

Сна­ча­ла най­дем ра­ди­ус круга. Для этого раз­де­лим диа­метр по­по­лам. По­лу­чим, что ра­ди­ус равен 7см. Под­ста­вим в фор­му­лу вме­сто букв их зна­че­ния. Со­кра­тим по­лу­чен­ную дробь на 7. Итак, пло­щадь круга при­мер­но равна 154  .

источник конспекта - http://interneturok.ru/ru/school/matematika/6-klass/otnosheniya-i-proporcii/dlina-okruzhnosti-ploschad-kruga?seconds=0&chapter_id=341

источник видео - http://www.youtube.com/watch?v=S5oVau-eyrs

источник видео - http://www.youtube.com/watch?v=XtRa6BudCTo

источник видео - http://www.youtube.com/watch?v=r7Zsq89ClDI

источник теста - http://testedu.ru/test/matematika/6-klass/masshtab-dlina-okruzhnosti-i-ploshhad-kruga.html

источник презентации - http://ppt4web.ru/matematika/dlina-okruzhnosti-i-ploshhad-kruga0.html

Файлы