7 класс. Геометрия. Параллельные прямые. Задачи на признаки параллельности прямых.

Комментарии преподавателя

 Понятие «параллельность прямых», его обоснование

Две пря­мые на плос­ко­сти на­зы­ва­ют­ся па­рал­лель­ны­ми, если они не пе­ре­се­ка­ют­ся. Обо­зна­ча­ет­ся это так: .

Рис. 1

От­рез­ки AB и CD, ле­жа­щие на па­рал­лель­ных пря­мых, на­зы­ва­ют­ся па­рал­лель­ны­ми.

Лучи, ле­жа­щие на па­рал­лель­ных пря­мых, также на­зы­ва­ют­ся па­рал­лель­ны­ми.

За­ду­ма­ем­ся, неуже­ли а и b нигде не пе­ре­се­кут­ся? И су­ще­ству­ют ли такие пря­мые? Ведь а и b не огра­ни­че­ны. И в со­сед­ней ком­на­те не пе­ре­се­кут­ся? И на луне?

Ока­зы­ва­ет­ся, такие пря­мые су­ще­ству­ют.

Мы до­ка­зы­ва­ли, что пер­пен­ди­ку­ляр­ная пря­мая а к пря­мой с и пер­пен­ди­ку­ляр­ная пря­мая b к пря­мой с нигде не пе­ре­се­ка­ют­ся (Рис. 2).

Рис. 2

То есть две пер­пен­ди­ку­ляр­ные пря­мые к одной и той же тре­тьей пря­мой нигде не пе­ре­се­кут­ся. Ока­зы­ва­ет­ся, для этих пря­мых есть тер­мин.

.

 Накрест лежащие углы, односторонние и соответственные углы

Рас­смот­рим важ­ную гео­мет­ри­че­скую кон­струк­цию, в ко­то­рой две пря­мые а и b рас­се­ка­ют­ся пря­мой с (Рис. 3).

Рис. 3

с – се­ку­щая а и b. Это озна­ча­ет, что она пе­ре­се­ка­ет и а, и b.

Воз­ни­ка­ет много углов (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8).

Эти углы на­зы­ва­ют­ся:

- на­крест ле­жа­щие углы: , ;

- од­но­сто­рон­ние углы: , ∠3 и ∠6;

- со­от­вет­ствен­ные углы: , , , .

 – смеж­ные углы.

 – вер­ти­каль­ные углы.

 Признаки параллельности прямыx

Сфор­му­ли­ру­ем и до­ка­жем пер­вый при­знак па­рал­лель­но­сти пря­мых.

Если при пе­ре­се­че­нии двух пря­мых се­ку­щей на­крест ле­жа­щие углы равны, то пря­мые па­рал­лель­ны.

Итак, даны две пря­мые а и b. Пря­мая АВ рас­се­ка­ет эти пря­мые и  (Рис. 4).

Рис. 4

До­ка­жем, что .

До­ка­за­тель­ство:

Рис. 5

Возь­мем се­ре­ди­ну от­рез­ка АВ – точку О – и опу­стим пер­пен­ди­ку­ляр ОН на пря­мую а. По­лу­чим точку Н. По­лу­чим от­ре­зок АН. От­ло­жим от точки В по пря­мой b от­ре­зок, рав­ный длине от­рез­ка АН. По­лу­чим точку , при­чем .

Имеем два тре­уголь­ни­ка  и . Эти тре­уголь­ни­ки равны по пер­во­му при­зна­ку (то есть по двум сто­ро­нам и углу между ними): (по усло­вию), (по по­стро­е­нию), ОА = ОВ (по по­стро­е­нию).

Из ра­вен­ства тре­уголь­ни­ков сле­ду­ет, что . А зна­чит – это про­дол­же­ние ОН, то есть точки О, Н и  лежат на одной пря­мой.

Также . Зна­чит, пря­мая Н пер­пен­ди­ку­ляр­на к пря­мой b.

Итак, мы имеем, что , . А зна­чит, , что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

Вто­рой при­знак па­рал­лель­но­сти пря­мых

Если при пе­ре­се­че­нии двух пря­мых се­ку­щей со­от­вет­ствен­ные углы равны, то пря­мые па­рал­лель­ны.

Имеем: а, b, с – пря­мые; с – се­ку­щая,.

Рис. 6

До­ка­за­тель­ство:

Зна­чит, .

При­ме­ним пер­вый при­знак па­рал­лель­но­сти пря­мых и по­лу­чим, что .

Тре­тий при­знак па­рал­лель­но­сти пря­мых

Если при пе­ре­се­че­нии двух пря­мых се­ку­щей сумма од­но­сто­рон­них углов равна 180°, то пря­мые па­рал­лель­ны.

Имеем: а, b, с – пря­мые; с – се­ку­щая, (Рис. 7).

Рис. 7

До­ка­за­тель­ство:

Зна­чит,  .

При­ме­ним пер­вый при­знак па­рал­лель­но­сти пря­мых и по­лу­чим, что .

 Решение задач

При­зна­ки па­рал­лель­но­сти пря­мых ис­поль­зу­ют­ся для ре­ше­ния раз­ных задач.

Рас­смот­рим при­мер:

а, b, с – пря­мые; с – се­ку­щая,,  (Рис. 8)

Рис. 8

Све­дем к од­но­му из при­зна­ков па­рал­лель­но­сти пря­мых.

Сле­до­ва­тель­но,. По тре­тье­му при­зна­ку па­рал­лель­но­сти пря­мых.

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/7-klass/parallelnye-pryamye/priznaki-parallelnosti-pryamyh

http://www.youtube.com/watch?v=grAedyzJgT8

http://www.youtube.com/watch?v=F33geKM7sko

http://www.youtube.com/watch?v=nFXlnPOoAoQ

http://elhow.ru/ucheba/geometrija/planimetrija/priznaki-parallelnosti-prjamyh

http://xn-----8kcagmhdbwcfthzc0aadtq7cdj.xn--p1ai/%D0%93%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%8F_7_%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D1%81%D1%81/%D0%9F%D1%80%D0%B8%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D0%BA%D0%B8_%D0%BF%D0%B0%D1%80%D0%B0%D0%BB%D0%BB%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8_%D0%BF%D1%80%D1%8F%D0%BC%D1%8B%D1%85

http://v.5klass.net/zip/80d1b5054053069eb76106ecf9ddbe52.zip

http://3.bp.blogspot.com/-DNMU-0ERlfE/TyWaNQcIkpI/AAAAAAAAAFk/5w50R6jMYGI/s1600/%25D0%25BF%25D1%2580%25D0%25B8%25D0%25B7%25D0%25BD%25D0%25B0%25D0%25BA%25D0%25B8+%25D0%25BF%25D0%25B0%25D1%2580%25D0%25B0%25D0%25BB%25D0%25BB%25D0%25B5%25D0%25BB%25D1%258C%25D0%25BD%25D0%25BE%25D1%2581%25D1%2582%25D0%25B8.jpg

Файлы