7 класс. Геометрия. Параллельные прямые. Задачи на признаки параллельности прямых.
7 класс. Геометрия. Параллельные прямые. Задачи на признаки параллельности прямых.
Комментарии преподавателя
Повторение
Определение:
Две прямые называются параллельными, если они не пересекаются (Рис. 1). Обозначается это так: 
.
Рис. 1
Отрезки 
.
Теорема:
Две перпендикулярные прямые к одной и той же третьей прямой нигде не пересекутся (Рис. 2).
Рис. 2
.
Эта теорема доказывает существование параллельных прямых.
Признаки параллельности прямых.
– прямые, с – секущая.
Рис. 3
Возникает много углов (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8).
Эти углы важны для нас, и поэтому они имеют названия:
- накрест лежащие углы: 
, 
;
- односторонние углы: 
, 
;
- соответственные углы: 
, 
, 
, 
.
Если при пересечении параллельных прямых а и b секущей пара каких-либо накрест лежащих углов равна, то прямые а и b параллельны. Если пара соответственных углов равна, то прямые параллельны. Если пара односторонних углов в сумме составляет 180
, то прямые параллельны.
Рис. 3
Таким образом, из соотношений между углами вытекает или не вытекает параллельность прямых.
Задача 1
Задача 1:
По данным рисунка 4 докажите, что 
.
Рис. 4
Доказательство:
1. 
.
2. 
.
3. AE – секущая.
Тогда
. Следовательно, по первому признаку, , что и требовалось доказать.
Задача 2
Задача 2:
Используя рисунок 5, докажите, что 
.
Рис. 5
Дано:
1. AB = BC
2. 
Доказать:
Доказательство:
– равнобедренный. Тогда углы при основании равны, значит, 
.
(по условию).
Тогда 
. А эти углы – накрест лежащие при прямых AD и BC и секущей AC. Следовательно, , что и требовалось доказать.
Задача 3
Задача 3:
В треугольнике АВС дано: АВ = ВС, AD = DE, 
. Доказать, что
(Рис. 6).
Рис. 6
Доказательство:
Будем использовать то, что в равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
Треугольники АВС и ADE – равнобедренные. Будем это использовать.
1. 
.
2. 
.
3. 
.
4. 
(Рис. 7).
Рис. 7
Тогда 
(по первому признаку), что и требовалось доказать.
Повторение
Признаки параллельности прямых.
– прямые, с – секущая.
Рис. 1
Возникает много углов (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8).
Эти углы важны для нас, и поэтому они имеют названия:
- смежные углы: 
, 
, 
, 
и т.д. (сумма смежных углов равна 
);
- вертикальные углы: 
, 
, 
, 
(вертикальные углы равны);
- накрест лежащие углы: 
, 
;
- односторонние углы: 
, 
;
- соответственные углы: 
, 
, 
, 
.
Основные теоремы о параллельности прямых:
Рис. 2
Если накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. И наоборот, если прямые параллельны, то накрест лежащие углы равны.
Рис. 3
Если соответственные углы равны, то прямые параллельны. И наоборот, если прямые параллельны, то соответственные углы равны.
Рис. 4
Если сумма внутренних углов равна 
, то прямые параллельны. И наоборот, если прямые параллельны, то сумма внутренних углов равна .
Рассмотрим некоторые типовые задачи на признаки параллельности прямых.
Задача 1
Задача 1:
Отрезки 
пересекаются в их общей середине. Докажите, что 
.
Дано:
.
Доказать: .
Рис. 5
Доказательство:
Тогда, по первому признаку равенства треугольников, 
.
Тогда 
.
Поскольку эти углы являются накрест лежащими при прямых 
и секущей 
, то по первому признаку параллельности прямых , что и требовалось доказать.
Задача 2
Задача 2:
На рисунке 
, угол 7 в 3 раза больше угла 2. Докажите, что 
.
Дано:
.
Доказать:
.
Рис. 6
Доказательство:
1.
;
2. 
(как вертикальные);
(как вертикальные);
3. 
.
Тогда, поскольку сумма внутренних углов равна , то по третьему признаку параллельности прямых, , что и требовалось доказать.
Задача 3
Задача 3:
Рис. 7
Дано:
.
Доказать:
.
Доказательство:
На рисунке видно, что АВ – общая сторона.
Из равенства треугольников следует, что 
.
Тогда 
.
– являются накрест лежащими углами прямых АС и BD и секущей АВ.
Тогда по первому признаку параллельности прямых
.
– являются накрест лежащими углами прямых AD и BC и секущей АВ.
Тогда по первому признаку параллельности прямых
.
ИСТОЧНИК
http://interneturok.ru/ru/school/geometry/7-klass/parallelnye-pryamye/reshenie-zadach-po-teme-priznaki-parallelnosti-pryamyh
http://interneturok.ru/ru/school/geometry/7-klass/parallelnye-pryamye/zadachi-na-priznaki-parallelnosti-dvuh-pryamyh
http://www.youtube.com/watch?v=q8-j4QfcpT4
http://www.youtube.com/watch?v=FmokgrcZQXM
http://www.youtube.com/watch?v=_fJkecAiJY0
http://gymn1549.ru/sbj/img/geom08-01.jpg
http://3.bp.blogspot.com/-DNMU-0ERlfE/TyWaNQcIkpI/AAAAAAAAAFk/5w50R6jMYGI/s1600/%25D0%25BF%25D1%2580%25D0%25B8%25D0%25B7%25D0%25BD%25D0%25B0%25D0%25BA%25D0%25B8+%25D0%25BF%25D0%25B0%25D1%2580%25D0%25B0%25D0%25BB%25D0%25BB%25D0%25B5%25D0%25BB%25D1%258C%25D0%25BD%25D0%25BE%25D1%2581%25D1%2582%25D0%25B8.jpg
http://davay5.com/z/8279.php