7 класс. Геометрия. Соотношения между сторонами и углами треугольников. Неравенство треугольника.

Комментарии преподавателя

 Свойства треугольника, которые касаются углов треугольника

Тре­уголь­ник – цен­траль­ная фи­гу­ра гео­мет­рии. Он об­ла­да­ет мно­же­ством уди­ви­тель­ных свойств. По­вто­рим ос­нов­ные свой­ства.

Рис.1. Углы тре­уголь­ни­ка

1. ∠1 + ∠2 + ∠3 =.

2. ∠4 = ∠1 + ∠2.

По­сколь­ку сумма углов тре­уголь­ни­ка равна , то из этого свой­ства сле­ду­ют раз­ные виды тре­уголь­ни­ков:

 Виды треугольников

1. Ост­ро­уголь­ный тре­уголь­ник

Рис. 2. Ост­ро­уголь­ный тре­уголь­ник

При­мер: углы тре­уголь­ни­ка: , ,  в сумме со­став­ля­ют , каж­дый из них мень­ше . Все углы ост­рые.

2. Ту­по­уголь­ный тре­уголь­ник

Рис. 3. Ту­по­уголь­ный тре­уголь­ник

∠А – тупой, ∠А є (;). При­мер: углы тре­уголь­ни­ка: , ,  в сумме со­став­ля­ют , тупым может быть толь­ко один угол.

3. Пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник

Рис. 4. Пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник

∠С =. Сумма дру­гих углов равна =. При­мер: углы тре­уголь­ни­ка: , , .

 Решение задач

При­мер 1: Най­ди­те угол А тре­уголь­ни­ка АВС, если

1. ∠В =, ∠С =.

Дано: ∠В =, ∠С =.

Найти: ∠А.

Ре­ше­ние: Вы­пол­ним по­яс­ни­тель­ный ри­су­нок:

Рис. 5. Чер­теж к при­ме­ру 1(1)

 ∠А + ∠В + ∠С = . ∠А ++=. ∠А + =. ∠А ==.

Ответ:.

2. ∠А : ∠В : ∠С = 7 : 6 : 5.

Дано: ∠А = 7n, ∠B = 6n, ∠C = 5n.

Найти: ∠А.

Ре­ше­ние: Вы­пол­ним по­яс­ни­тель­ный ри­су­нок:

Рис. 6. Чер­теж к при­ме­ру 1(2)

7n + 6n + 5n =. 18n =. n = : 18 =. ÐA = 7n = 7 *=.

Ответ:.

В преды­ду­щих за­да­чах фи­гу­ри­ро­ва­ли толь­ко внут­рен­ние углы тре­уголь­ни­ка. В сле­ду­ю­щей за­да­че при­сут­ству­ет внеш­ний угол тре­уголь­ни­ка.

При­мер 2:  Най­ди­те углы в тре­уголь­ни­ке АВС, если АВ = ВС, внеш­ний угол при вер­шине С равен .

Дано: АВ = ВС, ∠ВСD =(внеш­ний угол при вер­шине С).

Найти: ∠А, ∠В, ∠С.

Ре­ше­ние: Вы­пол­ним по­яс­ни­тель­ный ри­су­нок:

Рис. 7. Чер­теж к при­ме­ру 2

1. ∠АСВ =  =.

2. ∠А = ∠АСВ =.

3. ∠В =(∠А + ∠АСВ) =  – (+) =.

Ответ: ∠А = ∠С =, ∠В =.

Сле­ду­ю­щая за­да­ча ре­ша­ет­ся также с по­мо­щью тео­ре­мы о сумме углов тре­уголь­ни­ка.

При­мер 3: В тре­уголь­ни­ке один из углов равен , а два дру­гих угла от­но­сят­ся как 1:3. Найти эти углы.

Дано: ∠А =, ∠В : ∠С = 1 : 3.

Найти: ∠В, ∠С.

Ре­ше­ние: Вы­пол­ним по­яс­ни­тель­ный ри­су­нок:

Рис. 8. Чер­теж к при­ме­ру 3

∠В + ∠С ==.

∠В = n, ∠C = 3n. n + 3n =. 4n =. n =: 4 =.

∠B =. ∠C = 3 *=.

Ответ: ∠В =, ∠С =.

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/7-klass/sootnosheniya-mezhdu-storonami-i-uglami-treugolnikov/zadachi-na-ugly-treugolnika

http://www.youtube.com/watch?v=wRewiHzT-Iw

http://www.youtube.com/watch?v=djntLDnB1es

http://nsportal.ru/sites/default/files/2012/08/07/geo_7_summa.ppt

http://davay5.com/z.php?theme=summa-uglov-treugolnika&a=atanasyan-butuzov-kadomcev-poznyak-yudina_7_klass&g=sootnosheniya-mezhdu-storonami-i-uglami-treugolnika

http://school-assistant.ru/?predmet=geometr&theme=priznaki_ravenstva_treugolnikov

http://school-assistant.ru/?predmet=geometr&theme=mediana_bisektrisa_visota

http://school-assistant.ru/?predmet=geometr&theme=ravnobedrennij_treugolnik

Файлы