7 класс. Геометрия. Соотношения между сторонами и углами треугольников. Неравенство треугольника.

Комментарии преподавателя

 Теорема о соотношении между сторонами и углами треугольника

Тео­ре­ма: В тре­уголь­ни­ке

1. Про­тив боль­шей сто­ро­ны лежит боль­ший угол

2. Об­рат­но, про­тив боль­ше­го угла лежит боль­шая сто­ро­на.

1. Дано: АВ>АС

До­ка­зать: ∠С>∠В.

До­ка­за­тель­ство: От­ло­жим от­ре­зок AD рав­ный от­рез­ку АС и тогда точка D будет ле­жать между точек А и В. Луч CD рас­се­чёт угол АСВ на два угла, при этом ∠1=∠2.  ΔАСВ со­сто­ит из углов ∠1 и ∠3. ∠2 – внеш­ний для тре­уголь­ни­ка CDB, зна­чит он боль­ше угла В.

Рис. 1. Тео­ре­ма о со­от­но­ше­нии между сто­ро­на­ми и уг­ла­ми тре­уголь­ни­ка

AD=AC

∠1=∠2<∠ACB

∠2=∠B+∠3>∠B

∠1>∠B

∠ACB>∠B, что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

2. Дано: ∠С>∠В

До­ка­зать: ∠АВ>∠AC

До­ка­за­тель­ство: До­ка­жем ме­то­дом от про­тив­но­го.

Рис. 2. Об­рат­ная тео­ре­ма о со­от­но­ше­нии между сто­ро­на­ми и уг­ла­ми тре­уголь­ни­ка , но ∠С>∠В по усло­вию, сле­до­ва­тель­но, оста­ет­ся толь­ко слу­чай, если АВ>АС, что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

Ещё раз сфор­му­ли­ру­ем тео­ре­му и рас­про­стра­ним её на все углы тре­уголь­ни­ка.

Тео­ре­ма: В тре­уголь­ни­ке

1. Про­тив боль­шей сто­ро­ны лежит боль­ший угол

2. Об­рат­но, про­тив боль­ше­го угла лежит боль­шая сто­ро­на.

Рис. 3. Чер­тёж к тео­ре­ме

Если АВ>AC>BC, то ∠C>∠B>∠A.

Если ∠C>∠B>∠A, то АВ>AC>BC.

 Следствие 1 из теоремы

След­ствие 1: В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ги­по­те­ну­за боль­ше ка­те­та.

До­ка­за­тель­ство:

Рис. 4. Чер­тёж к след­ствию 1

∠А+∠В+90=180, ∠А+∠В=90=∠С. От­сю­да сле­ду­ет, что ∠А<90, ∠В<90. Зна­чит, СВ<АВ, СА<АВ. Ги­по­те­ну­за АВ боль­ше од­но­го ка­те­та и боль­ше дру­го­го ка­те­та. След­ствие до­ка­за­но.

 Следствие 2 из теоремы

След­ствие 2: Если два угла тре­уголь­ни­ка равны, то тре­уголь­ник рав­но­бед­рен­ный (при­знак рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка).

Дано: ∠В=∠С

До­ка­зать: АС=АВ

До­ка­за­тель­ство: До­ка­жем ме­то­дом от про­тив­но­го.

Рис. 5. Чер­тёж к след­ствию 2

АВ>АС ∠С>∠В, то есть АВ=АС. След­ствие до­ка­за­но.

Об­су­дим след­ствие 2. Тре­уголь­ник на­зы­ва­ет­ся рав­но­бед­рен­ным, если его две сто­ро­ны равны. Из этого вы­те­ка­ет его свой­ство: углы при ос­но­ва­нии равны. А те­перь у нас есть при­знак, что если углы при ка­кой-ли­бо сто­роне равны, то тре­уголь­ник рав­но­бед­рен­ный. Мы имеем при­знак рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка.

 Решение задач

При­мер 1: Срав­ни­те углы тре­уголь­ни­ка и вы­яс­ни­те, может ли быть угол А тупым, если АВ=АС<ВС.

Рис. 6. Чер­тёж к при­ме­ру 1

АВ=АС  ∠С=∠В. АС<ВС ÐВ<ÐА. Мы по­лу­чи­ли со­от­но­ше­ние между уг­ла­ми: ∠С=∠В  ∠А=180-(∠В+∠С).

При­мер: ∠В=∠С=10, тогда ∠А=180-(10+10)=160.

Ответ: 1) ∠В=∠С<∠А 2) ∠А может быть тупым.

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/7-klass/sootnosheniya-mezhdu-storonami-i-uglami-treugolnikov/teorema-o-sootnoshenii-mezhdu-storonami-i-uglami-treugolnika

http://www.youtube.com/watch?v=171ploiJ4E8

http://www.youtube.com/watch?v=mS6RNYKd-xs

http://nsportal.ru/sites/default/files/2013/02/27/43_teorema_o_sootnosheniyah_mezhdu_storonami_i_uglami_treugolnika_u1_geometriya_7_klass_karimova.pptx

http://scienceland.info/geometry7/triangle-angles

http://www.school212.ru/web212/school/images/geom/big/geom_7_12.jpg

Файлы