7 класс. Геометрия. Соотношения между сторонами и углами треугольников. Прямоугольные треугольники.

Комментарии преподавателя

Основные свойства прямоугольных треугольников

1. Повторение теоретических сведений, первое свойство прямоугольного треугольника

Сначала вспомним, что такое прямоугольный треугольник. Прямоугольным называется треугольник, если у него хотя бы один из углов прямой (т. е. равен 90о).

На рисунке 1 изображён прямоугольный треугольник АВС, ∠C=90. Вспомним, что сумма углов произвольного треугольника равна 180о. Не есть исключением и прямоугольный. Сумма углов прямоугольного треугольника также равна 180о. Обозначим острые углы ∠A и ∠В. Вследствие того, что ∠А + ∠В + ∠ С = 180о, а ∠С=90 следует, что ∠А + ∠В = 180 - ∠С = 90. Немаловажно знать, что у сторон прямоугольного треугольника есть свои названия. К примеру, стороны, прилежащие к вершине прямого угла, называются катетами. А сторона, лежащая против прямого угла, называется гипотенузой. На рисунке 1 АС, ВС – катеты, АВ – гипотенуза.

Рис. 1. Прямоугольный треугольник

Свойство 1: Сумма острых углов треугольника равна 90о.  

Вспомним из выученного материала факт, что в треугольнике против большей стороны лежит больший угол, а против большего угла лежит большая сторона. Прямой угол – наибольший в прямоугольном треугольнике. Если один угол прямоугольного треугольника больше 90о (не учитывая действительный прямой угол), то данный треугольник перестаёт таковым являться, ведь сумма углов превысит 180о. Таким образом, гипотенуза – наибольшая сторона треугольника.

2. Второе свойство прямоугольного треугольника

Свойство 2: АB > AC, АB > BC. 

Третье свойство прямоугольного треугольника связано с наличием угла 30о. На рисунке 2 дан прямоугольный треугольник АВС. Угол А равен 30о. Доказать, что ВС равна половине АВ.

Рис. 2. Прямоугольный треугольник АВС и равносторонний треугольник АBD

Доказательство:

Выполним дополнительное построение. А именно достроим треугольник АСD на стороне АС, равный треугольнику АВС. Поскольку АС в полученном треугольнике АBD является и биссектрисой, и высотой, то треугольник АBD – равнобедренный, а поскольку все его углы равны по 60о (∠В = 90о - ∠А = 90о – 30о = 60о), то треугольник АBD – равносторонний.

Поскольку треугольник АВD – равнобедренный, то ВD = АВ. Если АС – медиана и высота треугольника АВD, то СD = СВ. Поскольку ВD = АВ, то СВ = .

Что и требовалось доказать.

3. Третье свойство прямоугольного треугольника – наличие угла 30 градусов

Свойство 3: Катет, лежащий против угла 30о, равен половине гипотенузы.

Справедливо и обратное утверждение: если в прямоугольном треугольнике катет равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против данного катета равен 30о.

Доказательство:

Обозначим известную сторону АВ = с. Выполним дополнительное построение. А именно достроим треугольник АСD на стороне АС, равный треугольнику АВС. Поскольку АС в полученном треугольнике АBD является и медианой, и высотой, то треугольник АBD – равнобедренный, а поскольку все его стороны равны с, то треугольник АBD – равносторонний. Соответственно, в равнобедренном треугольнике все углы равны по 60о. Из этих соображений следует, что угол DAB = 60o. А поскольку, АС – биссектриса треугольника АBD (так как она есть медианой и высотой), то угол САВ равен половине угла DAB, то есть 30о.

Что и требовалось доказать.

4. Решение задач

Рассмотрим некоторые конкретные задачи.

Пример 1:

Найдите градусную меру острого угла в равнобедренном прямоугольном треугольнике.

Решение:

Выполним пояснительный рисунок.

Рис. 3. Чертёж к примеру 1

Гипотенуза всегда больше катета, потому что она лежит против большего угла, а значит если треугольник равнобедренный, выполняется равенство катетов. Поскольку в равнобедренном треугольнике углы при основании равны, то ∠А = ∠В. Используя известный факт, что сумма острых углов треугольника равна 90о, получаем, что ∠А = ∠В = 90/2 = 45.

Ответ: 45.

ИСТОЧНИК

http://x-uni.com/geometriya/7-klass/video/osnovnye-svoystva-pryamougolnyh-treugolnikov

http://www.youtube.com/watch?v=xyXedAjvAsU

http://www.youtube.com/watch?v=lFYednv376Y

http://www.youtube.com/watch?v=gId2OPB108I

http://nsportal.ru/sites/default/files/2012/02/27/nekotorye_svoystva_pryamougolnogo_treugolnika_0.ppt

https://otvet.imgsmail.ru/download/45720838_00b392ed21fd54ff5ad4a4af93b19e7c_800.jpg

http://istudy.su/wp-content/uploads/2015/09/6_Pryamougolnyj-treugolnik.jpg

Файлы