7 класс. Геометрия. Соотношения между сторонами и углами треугольников. Прямоугольные треугольники.
7 класс. Геометрия. Соотношения между сторонами и углами треугольников. Прямоугольные треугольники.
Комментарии преподавателя
Введение и доказательство первого признака равенства прямоугольных треугольников
Вспомним из материала предыдущего урока, прямоугольный треугольником называется треугольник, если у него хотя бы один из углов прямой (т. е. равен 90о).
Рассмотрим первый признак равенства треугольников: если два катета одного прямоугольного треугольника соответственно равны двум катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
Проиллюстрируем данный случай:
Рис. 1. Равные прямоугольные треугольники
Доказательство:
Вспомним о первом равенстве произвольных треугольников.
Рис. 2
Если две стороны и угол между ними одного треугольника и соответствующие им две стороны и угол между ними второго треугольника равны, то данные треугольники равны. Об этом гласит первый признак равенства треугольников, то есть:
АВС = 
.
Аналогичное доказательство следует и для прямоугольных треугольников:
.
Треугольники равны по первому признаку.
Введение и доказательство второго признака равенства прямоугольных треугольников
Рассмотрим второй признак равенства прямоугольных треугольников. Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
Рис. 3
Доказательство:
Рис. 4
Воспользуемся вторым признаком равенства треугольников:
Аналогичное доказательство и для прямоугольных треугольников:
Треугольники равны по второму признаку.
Введение и доказательство третьего признака равенства прямоугольных треугольников
Рассмотрим третий признак равенства прямоугольных треугольников: если гипотенуза и прилежащий к ней угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и прилежащему углу другого треугольника, то такие треугольники равны.
Доказательство:
Рис. 5
Вспомним второй признак равенства треугольников:
Рис. 6
Данные треугольники равны, если:
Поскольку известно, что одна пара острых углов у прямоугольных треугольников равна (∠А = ∠А1), то равенство другой пары углов (∠B = ∠B1) доказывается следующим образом:
.
Поскольку АВ = А1В1 ( по условию), ∠В = ∠В1, ∠А = ∠А1. Поэтому треугольники АВС и А1В1С1 равны по второму признаку.
Введение и доказательство четвёртого признака равенства прямоугольных треугольников, введение понятия «внешний угол треугольника»
Рассмотрим следующий признак равенства треугольников:
Если катет и гипотенуза одного треугольника соответственно равны катету и гипотенузе другого треугольника, такие прямоугольные треугольники равны.
Рис. 7
Доказательство:
Совместим наложением треугольники АВС и А1В1С1. Предположим, что вершины А и А1, а также С и С1 совместились наложением, а вершина В и точка В1 не совпадают. Именно этот случай указан на следующем рисунке:
Рис. 8
В данном случае мы можем заметить равнобедренный треугольник АВВ1 (по определению – по условию АВ = АВ1). Поэтому по свойству, ∠АВ1В = ∠АВВ1. Рассмотрим определение внешнего угла. Внешним углом треугольника называется угол, смежный любому углу треугольника. Его градусная мера равна сумме двух углов треугольника, несмежных с ним. На рисунке указано данное соотношение:
Рис. 9
Угол 5 является внешним углом треугольника и равен ∠5 = ∠1 + ∠2. Отсюда следует, что внешний угол больше каждого из углов, несмежных с ним.
Таким образом, ∠АВВ1 является внешним углом для треугольника АВС и равен сумме ∠АВВ1 = ∠САВ + ∠АСВ = ∠АВС = ∠САВ + 90о. Таким образом, ∠АВ1В (что является острым углом в прямоугольном треугольнике АВВ1) не может быть равен углу ∠АВВ1, ведь данный угол – тупой по доказанному.
Значит наше предположение касательно расположения точек В и В1 оказалось неверным, следовательно данные точки совпадают. А значит треугольники АВС и А1В1С1 совместились наложением. Поэтому они равны (по определению).
Таким образом, данные признаки вводятся не зря, ведь их можно использовать при решении некоторых задач.
ИСТОЧНИК
http://interneturok.ru/ru/school/geometry/7-klass/sootnosheniya-mezhdu-storonami-i-uglami-treugolnikov/priznaki-ravenstva-pryamougolnyh-treugolnikov-2
http://www.youtube.com/watch?v=KBAKMPZIMeo
http://www.youtube.com/watch?v=bnj64AX-XpI
http://idata.5gbfree.com/data/img/detskie/repetitor/geometriay/1020.jpg
http://u.900igr.net/zip/ee26a03498d564d73d320649486eb080.zip
http://gdz-matem.ru/228-priznaki-ravenstva-pryamougolnyh-treugolnikov.html