7 класс. Геометрия. Соотношения между сторонами и углами треугольников. Прямоугольные треугольники.
7 класс. Геометрия. Соотношения между сторонами и углами треугольников. Прямоугольные треугольники.
Комментарии преподавателя
Решение первой задачи по данной теме
Начнём урок с определённой задачи:
Задача 1:
На поверхность, состоящую из двух перпендикулярно расположенных зеркал, падает луч света. Докажите, что траектория луча падения будет параллельна траектории угла отражения.
Решение:
Выполним разъяснительный рисунок к этой задаче.
Рис. 1. Уголковый отражатель к задаче 1
Рассмотрим луч SM. По законам физики луч падения на поверхность равен лучу отражения от поверхности. Таким образом, ∠AMS = ∠OMN = α. Луч MN падает на поверхность NB и отражается, переходя в луч NT. Следовательно, ∠MNO = ∠TNB. Выразим данные углы через α. Из прямоугольного треугольника MON исходя из суммы острых его углов имеем, что ∠OMN + ∠TNB = 900. Отсюда ∠MNO = ∠TNB = 90о – α. Зная то, что углы ∠OMN, ∠MNT, ∠TNB образуют развёрнутый угол, то
.
Аналогично выразим угол SMN = 180о – 2α. Рассмотрим прямые SM и NT, а также секущую MN. Сумма внутренних односторонних углов SMN и MNT равна 
. Поскольку сумма внутренних односторонних углов при прямых SM и NT, а также секущей MN равна 180о, то прямые SM и NT параллельные.
Что и требовалось доказать.
Решение второй задачи по данной теме
Задача 2:
В равнобедренном треугольнике угол при вершине равен 54о.Найдите угол между высотой, проведённой к боковой стороне, и основанием треугольника.
Решение:
Выполним пояснительный рисунок:
Рис. 2. Чертёж к задаче 1
Дано, что CD = DE (по определению, так как треугольник CDE – равнобедренный). Угол при вершине ∠D = 54o. CF 
DE.
Известно, что сумма углов треугольника равна 180о, а также по свойству равнобедренного треугольника, углы при основании равны. Следовательно, ∠DEC = 
.
Рассмотрим прямоугольный треугольник СЕF. В нём сумма острых углов равна 90о. Следовательно, ∠FCE + ∠FEC = 900. Отсюда, ∠FCE = 900 - ∠FEC = 90 - 63 = 27о.
Ответ: 27о.
Решение третьей задачи по данной теме
Задача 3:
В равнобедренном треугольнике с углом при вершине равным 120о проведена высота к боковой стороне. Найдите длину основания, если длина высоты равна 9 см.
Решение:
Выполним рисунок к задаче.
Рис. 3. Рисунок к задаче 3
Поскольку треугольник АСВ – равнобедренный, то, по его свойству, углы при основании равны, то есть ∠В = ∠С. Поскольку сумма углов треугольника равна 1800, найдём угол С при основании ВС. ∠С = 
.
Рассмотрим треугольник ВНС (∠Н = 90о, так как ВН – высота треугольника АВС). В данном треугольнике имеем катет ВН = 9 см, который лежит против угла 30о. Значит, по свойству, длина ВС равна удвоенной длине ВН. ВС = 2ВН = 2*9 = 18 (см).
Ответ: 18 см.
Решение четвёртой задачи по этой теме
Задача 4: В прямоугольных треугольниках АВС и А1В1С1 углы А и А1 равны 90о. Известно, что ∠В = ∠В1. Отрезки ВD и B1D1являются биссектрисами углов В и В1 и равны между собой. Докажите, что треугольники АВС и А1В1С1 равны.
Решение:
Выполним пояснительный рисунок к данной задаче.
Рис. 4. Рисунок к задаче 4
Докажем равенство треугольников АВD и A1B1D1. В данных треугольниках известно, что ВD = B1D1, а из равенства углов В и В1 следует равенство углов АВD и A1B1D1. Следовательно, прямоугольные треугольники АВD и A1B1D1 равны по гипотенузе и острому углу. Из равенства указанных треугольников следует, что АВ = А1В1.
Докажем равенство треугольников АВС и А1В1С1. В данных треугольниках АВ = А1В1, а также углы В и В1 равны. Следовательно, треугольники АВС и А1В1С1 равны по острому углу и прилежащему к нему острому углу.
Что и требовалось доказать.
ИСТОЧНИК
http://interneturok.ru/ru/school/geometry/7-klass/sootnosheniya-mezhdu-storonami-i-uglami-treugolnikov/ugolkovyy-otrazhatel-tipovye-zadachi
http://www.youtube.com/watch?v=ky2pmRNXYrM
http://900igr.net/datas/geometrija/Ravenstvo-prjamougolnykh-treugolnikov/0009-009-Ugolkovyj-otrazhatel.jpg
http://uslide.ru/images/3/9455/960/img9.jpg
http://u.900igr.net/zip/cacc660b3314e1ce9bee6ec064c1cdce.zip