7 класс. Геометрия. Соотношения между сторонами и углами треугольников. Прямоугольные треугольники.

Комментарии преподавателя

 Расстояние между двумя точками

В те­ку­щем уроке мы по­зна­ко­мим­ся с по­ня­ти­ем «рас­сто­я­ние» в целом. Также мы кон­кре­ти­зи­ру­ем дан­ное по­ня­тие в слу­чае вы­чис­ле­ния рас­сто­я­ния между двумя точ­ка­ми, точ­кой и пря­мой, па­рал­лель­ны­ми пря­мы­ми

Рас­смот­рим ри­су­нок 1. На нём изоб­ра­же­ны 2 точки А и В. Рас­сто­я­ни­ем между двумя точ­ка­ми А и В яв­ля­ет­ся от­ре­зок, име­ю­щий концы в за­дан­ных точ­ках, то есть от­ре­зок АВ

Рис. 1. АВ – рас­сто­я­ние между точ­ка­ми

При­ме­ча­тель­но, что рас­сто­я­ни­ем нель­зя счи­тать кри­вую или ло­ма­ную линии, со­еди­ня­ю­щих две точки. Рас­сто­я­ние – это крот­чай­ший путь от одной точки к дру­гой. Имен­но от­ре­зок АВ яв­ля­ет­ся наи­мень­шим из всех воз­мож­ных линий, со­еди­ня­ю­щие точки А и В

 Расстояние от точки до прямой

Рас­смот­рим ри­су­нок 2, на ко­то­ром изоб­ра­же­на пря­мая а, и точка А, не при­над­ле­жа­щая дан­ной пря­мой. Рас­сто­я­ни­ем от точки А до пря­мой будет длина пер­пен­ди­ку­ля­ра АН.

Рис. 2. АН – рас­сто­я­ние между точ­кой и пря­мой

Важно за­ме­тить, что АН – крот­чай­шее рас­сто­я­ние, так как в тре­уголь­ни­ке АМН дан­ный от­ре­зок яв­ля­ет­ся ка­те­том, а про­из­воль­ный иной от­ре­зок, со­еди­ня­ю­щий точку А и пря­мую а (в дан­ном слу­чае – это АМ) будет яв­лять­ся ги­по­те­ну­зой. Как из­вест­но, катет все­гда мень­ше ги­по­те­ну­зы

Обо­зна­че­ние рас­сто­я­ния: 

 Расстояние между параллельными прямыми

Рас­смот­рим па­рал­лель­ные пря­мые a и b, изоб­ра­жён­ные на ри­сун­ке 3

 Рис. 3. Па­рал­лель­ные пря­мые a и b

За­фик­си­ру­ем две точки на пря­мой a и опу­стим из них пер­пен­ди­ку­ля­ры на па­рал­лель­ную ей пря­мую b. До­ка­жем, что если , 

Про­ве­дём от­ре­зок АМ для удоб­ства до­ка­за­тель­ства. Рас­смот­рим по­лу­чен­ные тре­уголь­ни­ки АВМ и АНМ. По­сколь­ку , а, то . Ана­ло­гич­но, . У дан­ных пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ков () сто­ро­на АМ – общая. Она яв­ля­ет­ся ги­по­те­ну­зой в обоих тре­уголь­ни­ках. Углы АМН и АМВ яв­ля­ют­ся внут­рен­ни­ми на­крес­тле­жа­щи­ми при па­рал­лель­ных пря­мых АВ и НМ и се­ку­щей АМ. По из­вест­но­му свой­ству, .

Из всего выше из­ло­жен­но­го сле­ду­ет, что . Из ра­вен­ства тре­уголь­ни­ков сле­ду­ет, что  АН = ВМ

Итак, мы до­ка­за­ли, что на ри­сун­ке 3 от­рез­ки АН и ВМ равны. Это зна­чит, что рас­сто­я­ни­ем между па­рал­лель­ны­ми пря­мы­мияв­ля­ет­ся длина их об­ще­го пер­пен­ди­ку­ля­ра, при чём выбор пер­пен­ди­ку­ля­ра может быть про­из­воль­ным. Таким об­ра­зом, 

Верно и об­рат­ное утвер­жде­ние: мно­же­ство точек, ко­то­рые на­хо­дят­ся на одном и том же рас­сто­я­нии от неко­то­рой пря­мой, об­ра­зу­ют пря­мую, па­рал­лель­ную дан­ной

За­кре­пим наши зна­ния, решим несколь­ко задач

 Пример 1

При­мер 1: За­да­ча 272 из учеб­ни­ка «Гео­мет­рия 7-9». Автор -  Ата­на­сян Л.С.

В рав­но­сто­рон­нем тре­уголь­ни­ке АВС про­ве­де­на бис­сек­три­са АD. Рас­сто­я­ние от точки D до пря­мой АС равно 6 см. Найти рас­сто­я­ние от точки А до пря­мой ВС

Рис. 4. Чер­тёж к при­ме­ру 1

Ре­ше­ние:

Рав­но­сто­рон­ним тре­уголь­ни­ком на­зы­ва­ет­ся тре­уголь­ник с тремя рав­ны­ми сто­ро­на­ми (а зна­чит, и с тремя рав­ны­ми уг­ла­ми, то есть – по 600). Рав­но­сто­рон­ний тре­уголь­ник яв­ля­ет­ся част­ным слу­ча­ем рав­но­бед­рен­но­го, по­это­му все свой­ства, при­су­щие рав­но­бед­рен­но­му тре­уголь­ни­ку, рас­про­стра­ня­ют­ся и на рав­но­сто­рон­ний. По­это­му АD – не толь­ко бис­сек­три­са, но ещё и вы­со­та, стало быть AD ⊥BC

По­сколь­ку рас­сто­я­ние от точки D до пря­мой АС – это длина пер­пен­ди­ку­ля­ра, опу­щен­но­го из точки D на пря­мую АС, то DH – дан­ное рас­сто­я­ние. Рас­смот­рим тре­уголь­ник АНD. В нём угол Н = 900, так как DH – пер­пен­ди­ку­ляр к АС (по опре­де­ле­нию рас­сто­я­ния от точки до пря­мой). Кроме этого, в дан­ном тре­уголь­ни­ке катет DH лежит про­тив угла , по­это­му AD =  (см) (По свой­ству)

Рас­сто­я­ние от точки А до пря­мой ВС – это длина опу­щен­но­го на пря­мую ВС пер­пен­ди­ку­ля­ра. По до­ка­зан­но­му AD ⊥BC, зна­чит, .

Ответ: 12 см.

 Пример 2

При­мер 2: За­да­ча 277 из учеб­ни­ка «Гео­мет­рия 7-9». Автор -  Ата­на­сян Л.С.

Рас­сто­я­ние между па­рал­лель­ны­ми пря­мы­ми a и b равно 3 см, а рас­сто­я­ние между па­рал­лель­ны­ми пря­мы­ми a и c равно 5 см. Най­ди­те рас­сто­я­ние между па­рал­лель­ны­ми пря­мы­ми b и c

Ре­ше­ние:

Рис. 5. Чер­тёж к при­ме­ру 2 (пер­вый слу­чай)

По­сколь­ку , то = 5 – 3 = 2 (см).

Од­на­ко дан­ный ответ непол­ный. Су­ще­ству­ет и дру­гой ва­ри­ант рас­по­ло­же­ния пря­мых на плос­ко­сти:

Рис. 6. Чер­тёж к при­ме­ру 2 (вто­рой слу­чай)

В дан­ном слу­чае .

Ответ: 2 см, 8 см.

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/7-klass/sootnosheniya-mezhdu-storonami-i-uglami-treugolnikov/rasstoyanie-ot-tochki-do-pryamoy-rasstoyanie-mezhdu-parallelnymi-pryamymi

http://www.youtube.com/watch?v=nSMjwuADyUg

http://www.youtube.com/watch?v=F33geKM7sko

http://www.cleverstudents.ru/line_and_plane/parallel_lines.html

http://proteacher.ru/2015/01/18/rasstoyanie_mezhdu_parallelnymi_pryamymi_1421587644_88852.rar

http://fs00.infourok.ru/images/doc/195/223344/img8.jpg

http://www.yaklass.ru/p/geometria/7-klass/sootnoshenie-mezhdu-storonami-i-uglami-treugolnika-9155/priamougolnye-treugolniki-9175/re-cef42b35-127b-4350-ac33-e249179f4160

http://cs1-26v4.vk-cdn.net/p15/f1c21f09bd9fad.mp3?extra=u96JCzuBb-XdruFah977CJD_izMWWpkY6XMumaQX91DaN6oYjpkhgbiIWHT_JgbeMV8sBTXjR7DNV22iBzUUOuBrsARIHPev

http://www.flconf.org/education/wp-content/uploads/2011/04/5107103-1886x2550-1-1024x757.jpg

Файлы