7 класс. Геометрия. Соотношения между сторонами и углами треугольников. Построение треугольников по трем элементам.

Комментарии преподавателя

 Пример 1,Пример 2

Дан­ная тема имеет ши­ро­кое прак­ти­че­ское при­ме­не­ние, по­это­му рас­смот­рим неко­то­рые типы ре­ше­ния задач. На­пом­ним, что любые по­стро­е­ния вы­пол­ня­ют­ся ис­клю­чи­тель­но с по­мо­щью цир­ку­ля и ли­ней­ки.

При­мер 1:

По­стро­ить тре­уголь­ник по двум сто­ро­нам и углу между ними.

Дано: Пред­по­ло­жим, ана­ли­зи­ру­е­мый тре­уголь­ник вы­гля­дит так

Рис. 1.1. Ана­ли­зи­ру­е­мый тре­уголь­ник к при­ме­ру 1

Пусть за­дан­ные от­рез­ки будут с и а, а за­дан­ный угол будет 

Рис. 1.2. За­дан­ные эле­мен­ты к при­ме­ру 1

По­стро­е­ние:

Сна­ча­ла сле­ду­ет от­ло­жить угол 1

Рис. 1.3. От­ло­жен­ный угол 1 к при­ме­ру 1

Затем на сто­ро­нах дан­но­го угла от­кла­ды­ва­ем цир­ку­лем две дан­ные сто­ро­ны: за­ме­ря­ем цир­ку­лем длину сто­ро­ны а и по­ме­ща­ем остриё цир­ку­ля в вер­ши­ну угла 1, а дру­гой ча­стью де­ла­ем на­сеч­ку на сто­роне угла 1. Ана­ло­гич­ную про­це­ду­ру про­де­лы­ва­ем со сто­ро­ной с

Рис. 1.4. От­ло­жен­ные сто­ро­ны а и с к при­ме­ру 1

Затем со­еди­ня­ем по­лу­чен­ные на­сеч­ки, и мы по­лу­чим ис­ко­мый тре­уголь­ник АВС

Рис. 1.5. По­стро­ен­ный тре­уголь­ник АВС к при­ме­ру 1

Будет ли дан­ный тре­уголь­ник рав­ный пред­по­ла­га­е­мо­му? Будет, ведь эле­мен­ты по­лу­чен­но­го тре­уголь­ни­ка (две сто­ро­ны и угол между ними) со­от­вет­ствен­но равны двум сто­ро­нам и углу между ними, дан­ным в усло­вии. По­это­му по пер­во­му свой­ству ра­вен­ства тре­уголь­ни­ков -  – ис­ко­мый.

По­стро­е­ние вы­пол­не­но.

При­ме­ча­ние:

На­пом­ним, как от­ло­жить угол, рав­ный дан­но­му.

При­мер 2

От­ло­жить от дан­но­го луча угол, рав­ный дан­но­му. За­да­ны угол А и луч ОМ. По­стро­ить .

По­стро­е­ние:

Рис. 2.1. Усло­вие к при­ме­ру 2

1. По­стро­ить окруж­ность Окр(А, r = AB). Точки В и С – яв­ля­ют­ся точ­ка­ми пе­ре­се­че­ния со сто­ро­на­ми угла А

Рис. 2.2. Ре­ше­ние к при­ме­ру 2

1. По­стро­ить окруж­ность Окр(D, r = CB). Точки E и M – яв­ля­ют­ся точ­ка­ми пе­ре­се­че­ния со сто­ро­на­ми угла А

Рис. 2.3. Ре­ше­ние к при­ме­ру 2

1. Угол МОЕ – ис­ко­мый, так как .

По­стро­е­ние вы­пол­не­но.

 Пример 3

При­мер 3

По­стро­ить тре­уголь­ник АВС по из­вест­ной сто­роне и двум при­ле­жа­щим к ней углам.

Дано:

Пусть ана­ли­зи­ру­е­мый тре­уголь­ник вы­гля­дит так:

Рис. 3.1. Усло­вие к при­ме­ру 3

Тогда за­дан­ные от­рез­ки вы­гля­дят таким об­ра­зом

Рис. 3.2. Усло­вие к при­ме­ру 3

По­стро­е­ние:

От­ло­жим угол  на плос­ко­сти

Рис. 3.3. Ре­ше­ние к при­ме­ру 3

От­ло­жим на сто­роне дан­но­го угла длину сто­ро­ны а

Рис. 3.4. Ре­ше­ние к при­ме­ру 3

Затем от­ло­жим от вер­ши­ны С угол . Необ­щие сто­ро­ны углов γ и α пе­ре­се­ка­ют­ся в точке А

Рис. 3.5. Ре­ше­ние к при­ме­ру 3

Яв­ля­ет­ся по­стро­ен­ный тре­уголь­ник ис­ко­мым? Яв­ля­ет­ся, так как сто­ро­на и два при­ле­жа­щих к ней угла по­стро­ен­но­го тре­уголь­ни­ка со­от­вет­ствен­но равны сто­роне и углу между ними, дан­ных в усло­вии

 - ис­ко­мый по вто­ро­му при­зна­ку ра­вен­ства тре­уголь­ни­ков

По­стро­е­ние вы­пол­не­но

 Пример 4

При­мер 4

По­стро­ить тре­уголь­ник по 2 ка­те­там

Дано

Пусть ана­ли­зи­ру­е­мый тре­уголь­ник вы­гля­дит так

Рис. 4.1. Усло­вие к при­ме­ру 4

Из­вест­ные эле­мен­ты – ка­те­ты

Рис. 4.2. Усло­вие к при­ме­ру 4

Дан­ная за­да­ча от­ли­ча­ет­ся от преды­ду­щих тем, что угол между сто­ро­на­ми можно опре­де­лить по умол­ча­нию – 900

По­стро­е­ние:

От­ло­жим угол, рав­ный 900. Де­лать это будем точно так же, как по­ка­за­но в при­ме­ре 2

Рис. 4.3. Ре­ше­ние к при­ме­ру 4

Затем на сто­ро­нах дан­но­го угла от­кла­ды­ва­ем длины сто­рон а и b, дан­ных в усло­вии

Рис. 4.4. Ре­ше­ние к при­ме­ру 4

В ре­зуль­та­те по­лу­чен­ный тре­уголь­ник – ис­ко­мый, ведь его две сто­ро­ны и угол между ними со­от­вет­ствен­но равны двум сто­ро­нам и углу между ними, дан­ны­ми в усло­вии

За­ме­тим, что от­ло­жить угол 900 можно, по­стро­ив две пер­пен­ди­ку­ляр­ные пря­мые. Как вы­пол­нить эту за­да­чу, рас­смот­рим в до­пол­ни­тель­ном при­ме­ре

 Дополнительный пример

До­пол­ни­тель­ный при­мер

Вос­ста­но­вить пер­пен­ди­ку­ляр к пря­мой р, про­хо­дя­щий через точку А,

Дано:

Пря­мая р, и точка А, ле­жа­щая на дан­ной пря­мой

Рис. 5.1. Усло­вие к до­пол­ни­тель­но­му при­ме­ру

По­стро­е­ние:

Сна­ча­ла вы­пол­ним по­стро­е­ние окруж­но­сти про­из­воль­но­го ра­ди­у­са с цен­тром в точке А

Рис. 5.2. Ре­ше­ние к до­пол­ни­тель­но­му при­ме­ру

Дан­ная окруж­ность пе­ре­се­ка­ет пря­мую р в точ­ках К и Е. Затем по­стро­им две окруж­но­сти Окр(К, R = КЕ), Окр(E, R = КЕ). Дан­ные окруж­но­сти пе­ре­се­ка­ют­ся в точ­ках С и В. От­ре­зок СВ – ис­ко­мый, 

Рис. 5.3. Ответ к до­пол­ни­тель­но­му при­ме­ру

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/7-klass/sootnosheniya-mezhdu-storonami-i-uglami-treugolnikov/postroenie-treugolnika-po-trem-elementam

http://www.youtube.com/watch?v=LqMxLyY55ro

http://www.youtube.com/watch?v=vH4EPlJO1Nc

http://nsportal.ru/sites/default/files/2014/12/04/postroenie_treugolnika_po_3elementam.pptx

http://v.900igr.net/zip/4dbe1db644ece031a9edeadcbc2a2967.zip

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/7-klass/sootnosheniya-mezhdu-storonami-i-uglami-treugolnikov/reshenie-bolee-slozhnyh-zadach-na-postroenie

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/7-klass/sootnosheniya-mezhdu-storonami-i-uglami-treugolnikov/dve-zadachi-na-postroenie

http://www.youtube.com/watch?v=jdLeF7zrRrc

http://davay5.com/z.php?theme=postroenie-treugolnika-po-trem-elementam&a=atanasyan-butuzov-kadomcev-poznyak-yudina_7_klass&g=sootnosheniya-mezhdu-storonami-i-uglami-treugolnika

http://cs1-26v4.vk-cdn.net/p15/f1c21f09bd9fad.mp3?extra=u96JCzuBb-XdruFah977CJD_izMWWpkY6XMumaQX91DaN6oYjpkhgbiIWHT_JgbeMV8sBTXjR7DNV22iBzUUOuBrsARIHPev

http://www.flconf.org/education/wp-content/uploads/2011/04/5107103-1886x2550-1-1024x757.jpg

Файлы